הסתברות ברמה אינטואיטיבית בהקשר של שכיחות יחסית כפי שבאה לידי ביטוי בסטטיסטיקה.
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! הסתברות היא כמו "מד ביטחון" - מספר בין 0 (אין שום סיכוי) ל-1 (בטוח לגמרי) שמראה עד כמה משהו צפוי לקרות. הדרך הכי טובה להעריך אותו כשאין לכם שום מידע נוסף היא להסתכל על העבר: אם משהו קרה הרבה פעמים מתוך כל הפעמים שבדקתם, סביר שהוא יקרה שוב; אם הוא קרה לעיתים רחוקות מאוד, פחות סביר. זה בדיוק אותו רעיון של שכיחות יחסית שכבר הכרתם - רק הפעם משתמשים בו כדי להעריך את העתיד, ולא רק לתאר את העבר!
מהי הסתברות? סולם מ-0 עד 1
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 שמתאר עד כמה סביר (עד כמה "היתכן") שתוצאה מסוימת תתרחש. ככל שההסתברות קרובה יותר ל-1, כך אנחנו בטוחים יותר שהתוצאה תתרחש; ככל שהיא קרובה יותר ל-0, כך אנחנו בטוחים יותר שהיא לא תתרחש. הסתברות של 0.5 בערך אומרת שהסיכוי שהתוצאה תתרחש דומה בערך לסיכוי שהיא לא תתרחש.
תוצאה ודאית ותוצאה בלתי אפשרית
תוצאה שבטוח שתתרחש (אין שום סיכוי שלא) נקראת תוצאה ודאית, וההסתברות שלה היא בדיוק 1. תוצאה שבטוח שלא תתרחש (אין שום סיכוי שכן) נקראת תוצאה בלתי אפשרית, וההסתברות שלה היא בדיוק 0. כל שאר התוצאות - אלה שיש להן סיכוי מסוים אבל לא ודאות מלאה - מקבלות הסתברות שהיא מספר כלשהו בין 0 ל-1, בלי לכלול את שני הקצוות עצמם.
הקשר בין שכיחות יחסית לבין הסתברות
בשיעור הקודם למדתם על שכיחות יחסית - החלק שערך מסוים תופס מתוך כלל הנתונים. יש קשר הדוק בין שכיחות יחסית לבין הסתברות: כשחוזרים על אותה פעילות או ניסוי הרבה מאוד פעמים, השכיחות היחסית שבה תוצאה מסוימת מתקבלת היא אומדן טוב להסתברות של אותה תוצאה. במילים אחרות - כדי להעריך כמה סביר שמשהו יקרה בפעם הבאה, אפשר להסתכל כמה פעמים הוא קרה בעבר, מתוך כל הפעמים שבדקנו.
מעריכים הסתברות מתוך נתונים שנאספו
כדי להעריך הסתברות, בונים שבר: מספר הפעמים שהתוצאה המבוקשת קרתה, חלקי מספר הפעמים הכולל שבדקנו (בדיוק כמו חישוב שכיחות יחסית). ככל שהשבר הזה קרוב יותר ל-1, ההערכה היא שהתוצאה סבירה מאוד; ככל שהוא קרוב יותר ל-0, ההערכה היא שהתוצאה נדירה מאוד. אפשר להעריך הסתברות כזו מתוך נתונים שמוצגים בכל דרך - טבלה, דיאגרמה, או תיאור מילולי.
נימוק מילולי לתשובת הסתברות
כשעונים על שאלת הסתברות, לא מספיק לרשום רק מספר - תמיד צריך גם להסביר במילים למה בחרתם בתשובה הזו: מאיזה נתון (שכיחות מתוך הכול) הגעתם למספר, ומה המשמעות שלו (הסתברות גבוהה = סביר, הסתברות נמוכה = נדיר). ההרגל הזה חשוב, כי הוא עוזר לוודא שהחישוב אכן משקף את המצב האמיתי, ולא רק מספר שנוצר במקרה.
דוגמאות פתורות
שחקנית כדורסל זרקה זריקות עונשין באימון 25 פעמים, וקלעה 20 מתוכן. על סמך הנתון הזה, מהי ההערכה להסתברות שהיא תקלע בזריקה הבאה שלה? האם התוצאה קרובה יותר לוודאות או לחוסר סבירות?
- מעריכים את ההסתברות על סמך השכיחות היחסית של הצלחה בעבר: מספר הזריקות שקלעה חלקי מספר הזריקות הכולל: 20 חלקי 25.
- מחשבים: 20/25 = 4/5 = 0.8.
- משווים ל-0 ול-1: 0.8 קרוב יחסית ל-1 (יותר מחצי הדרך מ-0.5 ל-1), כך שההסתברות שהיא תקלע נחשבת גבוהה - סביר מאוד שהיא תקלע בזריקה הבאה, אך לא ודאי לגמרי.
תשובה: ההערכה להסתברות שהיא תקלע היא 0.8 (4/5) - קרובה ל-1, כלומר סביר מאוד שהיא תקלע, אבל אין ודאות מוחלטת (0.8 שונה מ-1).
במפעל נבדקו 200 נורות תאורה שיוצרו, ונמצא שרק 2 מהן פגומות. על סמך הנתון הזה, מהי ההערכה להסתברות שהנורה הבאה שתיוצר תהיה פגומה?
- מעריכים את ההסתברות על סמך השכיחות היחסית של נורות פגומות מתוך כל הנורות שנבדקו: 2 חלקי 200.
- מחשבים: 2/200 = 1/100 = 0.01.
- משווים ל-0 ול-1: 0.01 קרוב מאוד ל-0, כך שההערכה היא שסביר מאוד שהנורה הבאה לא תהיה פגומה - הסיכוי לפגם קיים, אבל הוא נמוך מאוד.
תשובה: ההערכה להסתברות שהנורה הבאה תהיה פגומה היא 0.01 (1/100) - קרובה מאוד ל-0, כלומר נדיר מאוד שנורה תהיה פגומה.
תרגול
1. מטילים קובייה רגילה עם המספרים 1 עד 6. מה ההסתברות לקבל מספר קטן מ-10? ומה ההסתברות לקבל את המספר 8? נמקו במילים.תרגול
- כל התוצאות האפשריות בקובייה רגילה הן 1,2,3,4,5,6 - כל אחת מהן קטנה מ-10, בלי יוצא מן הכלל, ולכן קבלת "מספר קטן מ-10" היא תוצאה ודאית.
- הסתברות של תוצאה ודאית היא תמיד 1.
- המספר 8 כלל לא נמצא בין התוצאות האפשריות של קובייה רגילה (1 עד 6), ולכן קבלתו היא תוצאה בלתי אפשרית, וההסתברות שלה היא 0.
תשובה: ההסתברות לקבל מספר קטן מ-10 היא 1 (תוצאה ודאית). ההסתברות לקבל את המספר 8 היא 0 (תוצאה בלתי אפשרית).
2. קו אוטובוס נבדק ב-50 נסיעות, ונמצא שב-45 מהן הוא הגיע בזמן. על סמך הנתון הזה, מהי ההערכה להסתברות שהאוטובוס יגיע בזמן בנסיעה הבאה?תרגול
- מעריכים את ההסתברות מתוך השכיחות היחסית של הגעה בזמן: 45 חלקי 50 (כל הנסיעות שנבדקו).
- מחשבים: 45/50 = 9/10 = 0.9.
תשובה: ההערכה להסתברות שהאוטובוס יגיע בזמן היא 9/10 = 0.9 - קרובה מאוד ל-1, כלומר סביר מאוד שהוא יגיע בזמן.
3. שלושה מכשירים נבדקו על סמך תקלות שאירעו בעבר: מכונת ממתקים נתקעה 3 פעמים מתוך 300 הפעלות. שעון קיר נעצר 1 פעם מתוך 20 ימים. קו אוטובוס איחר 1 נסיעה מתוך 4 נסיעות. דרגו את שלושת המכשירים מהפחות סביר לתקול ועד הכי סביר לתקול, על סמך ההסתברות המוערכת לכל אחד.תרגול
- מחשבים את ההסתברות המוערכת לכל מכשיר: מכונת ממתקים - 3/300 = 0.01. שעון קיר - 1/20 = 0.05. אוטובוס מאחר - 1/4 = 0.25.
- משווים בין שלוש ההסתברויות: 0.01 < 0.05 < 0.25.
- מסדרים מהקטנה לגדולה (מהפחות סביר לתקול ועד הכי סביר): מכונת הממתקים, אחריה שעון הקיר, ולבסוף האוטובוס - שהוא הכי "לא אמין" מבין השלושה.
תשובה: מהפחות סביר לתקול עד הכי סביר: מכונת הממתקים (0.01), שעון הקיר (0.05), ואיחור האוטובוס (0.25) - הכי סביר לקרות.
4. בעיר מסוימת נבדק מזג האוויר במשך 30 ימים: 18 ימים היו שמשיים, 6 ימים ירד גשם ו-6 ימים היו מעוננים (בלי גשם). על סמך הנתונים, מהי ההערכה להסתברות שמחר לא יהיה יום שמשי?שאלה בהקשר
- "לא יום שמשי" כולל את כל הימים שאינם שמשיים - כלומר ימי גשם וימים מעוננים ביחד: 6+6=12 ימים מתוך 30.
- מעריכים את ההסתברות מתוך השכיחות היחסית: 12 חלקי 30.
- מצמצמים: 12/30 = 2/5 = 0.4.
תשובה: ההערכה להסתברות שמחר לא יהיה יום שמשי היא 2/5 = 0.4.
5. בשתי ערים נבדק הסיכוי לגשם על סמך נתוני עבר: בעיר א', מתוך 40 ימים בעונה המקבילה בשנה שעברה, ירד גשם ב-2 ימים. בעיר ב', מתוך 40 ימים באותה עונה, ירד גשם ב-30 ימים. מתכננים אירוע חוץ בכל אחת מהערים - באיזו עיר הסיכון לביטול בגלל גשם גבוה יותר? נמקו על סמך ההסתברות המוערכת בכל עיר.שאלה בהקשר
- מעריכים את ההסתברות לגשם בכל עיר מתוך השכיחות היחסית: עיר א' - 2/40 = 1/20 = 0.05. עיר ב' - 30/40 = 3/4 = 0.75.
- משווים: 0.75 (עיר ב') גדול בהרבה מ-0.05 (עיר א').
- לכן הסיכון לגשם, ולכן גם הסיכון לביטול האירוע בגלל גשם, גבוה משמעותית בעיר ב' - ההסתברות שם קרובה יותר ל-1 (וודאות), בעוד שבעיר א' היא קרובה מאוד ל-0 (כמעט בלתי אפשרי).
תשובה: הסיכון גבוה יותר בעיר ב', כי ההסתברות המוערכת לגשם שם (0.75) גבוהה בהרבה מזו של עיר א' (0.05).
לזכירה
- הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 שמתאר עד כמה סביר שתוצאה תתרחש. תוצאה ודאית מקבלת הסתברות 1, ותוצאה בלתי אפשרית מקבלת הסתברות 0.
- יש קשר הדוק בין שכיחות יחסית להסתברות: כשחוזרים על ניסוי או פעילות פעמים רבות, השכיחות היחסית של תוצאה מסוימת היא אומדן טוב להסתברות שלה.
- כדי להעריך הסתברות מתוך נתונים, בונים שבר: מספר הפעמים שהתוצאה קרתה חלקי מספר הפעמים הכולל שבדקנו.
- ככל שההסתברות המוערכת קרובה יותר ל-1, התוצאה נחשבת סבירה יותר; ככל שהיא קרובה יותר ל-0, היא נחשבת נדירה יותר.
- תמיד צריך לנמק במילים תשובת הסתברות - מאיזה נתון הגעתם לתוצאה, ומה המשמעות שלה.