כפל וחילוק מספרים מכוונים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אם אתה מתבלבל עם הסימנים, תזכור ככה: אם שני המספרים מסכימים (שניהם פלוס, או שניהם מינוס) - התוצאה תמיד פלוס. אם הם לא מסכימים (אחד פלוס ואחד מינוס) - התוצאה תמיד מינוס. תעצור שנייה, תבדוק מה הסימנים, ואז תכפול או תחלק את המספרים כאילו הם חיוביים - אתה כבר כמעט שם, כל הכבוד!
למה בכלל כופלים וחולקים מספרים שליליים?
בחיים האמיתיים יש הרבה מצבים שבהם דברים משתנים כמה פעמים ברצף באותו כיוון. למשל: הטמפרטורה יורדת ב-2 מעלות בכל שעה, במשך כמה שעות ברציפות. או: צוללת שוקעת כמה מטרים בכל דקה. כדי לחשב בבת אחת את השינוי הכולל, במקום לחבר שוב ושוב, כופלים. וכשרוצים לפרק שינוי כולל לשינוי של יחידה אחת, מחלקים.
כלל הסימנים בכפל
כשכופלים שני מספרים מכוונים, קודם קובעים את הסימן של התוצאה, ורק אחר כך כופלים את הגדלים (המספרים בלי הסימן). אם שני המספרים באותו סימן - שניהם חיוביים או שניהם שליליים - התוצאה תמיד חיובית. אם המספרים בסימנים שונים - אחד חיובי ואחד שלילי - התוצאה תמיד שלילית. לדוגמה: (+2)×(+3)=+6, אבל (+2)×(-3)=-6, וגם (-2)×(-3)=+6.
כלל הסימנים בחילוק
בדיוק אותו כלל עובד גם בחילוק. אם שני המספרים באותו סימן, התוצאה חיובית: למשל (-10)÷(-2)=+5. אם המספרים בסימנים שונים, התוצאה שלילית: למשל (-10)÷(+2)=-5, וגם (+10)÷(-2)=-5. תמיד קובעים קודם את הסימן, ואחר כך מחלקים את הגדלים כרגיל.
טיפ לזכירה
אפשר לחשוב על זה כמו על הסכמה בין המספרים: שני מספרים עם אותו סימן מסכימים, ולכן התוצאה חיובית. שני מספרים עם סימנים שונים לא מסכימים, ולכן התוצאה שלילית. הכלל הזה נכון גם לכפל וגם לחילוק, בלי יוצא מן הכלל.
דוגמאות פתורות
חשבו: (-3) × 4 (הטמפרטורה יורדת 3 מעלות בכל שעה, במשך 4 שעות - מה השינוי הכולל?)
- מזהים את הסימנים: מספר שלילי (-3) כפול מספר חיובי (4).
- הסימנים שונים, ולכן כלל הסימנים אומר: שלילי × חיובי = שלילי.
- כופלים את הגדלים (בלי הסימן): 3×4=12.
- מוסיפים את הסימן השלילי שקבענו: -12.
תשובה: -12 (הטמפרטורה ירדה ב-12 מעלות בסך הכל)
חשבו: (-36) ÷ 4
- מזהים את הסימנים: מספר שלילי (-36) חלקי מספר חיובי (4).
- הסימנים שונים, ולכן כלל הסימנים אומר: שלילי ÷ חיובי = שלילי.
- מחלקים את הגדלים: 36÷4=9.
- מוסיפים את הסימן השלילי שקבענו: -9.
תשובה: -9
תרגול
1. חשבו: (-8) × 3תרגול
- הסימנים שונים: שלילי כפול חיובי.
- לפי כלל הסימנים, שלילי × חיובי = שלילי.
- כופלים את הגדלים: 8×3=24.
- מוסיפים סימן שלילי: -24.
תשובה: -24
2. חשבו: (-54) ÷ (-6)תרגול
- הסימנים שווים: שניהם שליליים.
- לפי כלל הסימנים, שלילי ÷ שלילי = חיובי.
- מחלקים את הגדלים: 54÷6=9.
- התוצאה חיובית: 9.
תשובה: 9
3. חשבו: 9 × (-7)תרגול
- הסימנים שונים: חיובי כפול שלילי.
- לפי כלל הסימנים, חיובי × שלילי = שלילי.
- כופלים את הגדלים: 9×7=63.
- מוסיפים סימן שלילי: -63.
תשובה: -63
4. בלילה קר, הטמפרטורה יורדת בקצב קבוע של 2 מעלות בכל שעה. בסך הכל הטמפרטורה ירדה ב-14 מעלות. כמה שעות עברו?שאלה בהקשר
- הירידה בכל שעה: -2 מעלות. הירידה הכוללת: -14 מעלות.
- מספר השעות שווה לירידה הכוללת חלקי הירידה בכל שעה: (-14) ÷ (-2).
- הסימנים שווים (שניהם שליליים), לכן התוצאה חיובית.
- מחלקים את הגדלים: 14÷2=7.
תשובה: עברו 7 שעות
5. צוללת נמצאת בפני הים (עומק 0) ואז שוקעת בקצב קבוע של 6 מטרים בכל דקה. במצב כזה מקובל לסמן ירידה במיקום האנכי כמספר שלילי, ועלייה כמספר חיובי. מה השינוי הכולל במיקום האנכי של הצוללת אחרי 9 דקות, כמספר מכוון?שאלה בהקשר
- לפי המוסכמה שנקבעה בשאלה, ירידה = שלילי. הירידה בכל דקה: -6 מטרים. מספר הדקות: 9.
- השינוי הכולל במיקום האנכי הוא: (-6) × 9.
- הסימנים שונים (שלילי כפול חיובי), לכן התוצאה שלילית.
- כופלים את הגדלים: 6×9=54, ומוסיפים סימן שלילי: -54.
תשובה: -54 מטרים (הצוללת ירדה 54 מטרים)
6. לדנה יש חוב של 60 ש"ח בחשבון הבנק. היא ואחיה מתחלקים בחוב הזה בשווה בין שניהם. כמה חוב (כמספר מכוון) יש לכל אחד?שאלה בהקשר
- החוב הכולל: -60 ש"ח. הוא מתחלק בין 2 אנשים.
- החוב של כל אחד הוא: (-60) ÷ 2.
- הסימנים שונים (שלילי חלקי חיובי), לכן התוצאה שלילית.
- מחלקים את הגדלים: 60÷2=30, ומוסיפים סימן שלילי: -30.
תשובה: -30 ש"ח לכל אחד (חוב של 30 ש"ח)
7. מכונה בבית חרושת מייצרת פחות מוצרים מהמתוכנן: בכל שעה ההפרש מהתכנון הוא -5 מוצרים. אחרי 8 שעות עבודה, מה ההפרש הכולל מהתכנון?שאלה בהקשר
- ההפרש בכל שעה: -5 מוצרים. מספר השעות: 8.
- ההפרש הכולל הוא: (-5) × 8.
- הסימנים שונים (שלילי כפול חיובי), לכן התוצאה שלילית.
- כופלים את הגדלים: 5×8=40, ומוסיפים סימן שלילי: -40.
תשובה: -40, כלומר המכונה ייצרה בסך הכל 40 מוצרים פחות מהמתוכנן
לזכירה
- כפל או חילוק של שני מספרים עם אותו סימן (שניהם + או שניהם -) נותנים תמיד תוצאה חיובית (+).
- כפל או חילוק של שני מספרים עם סימנים שונים (אחד + ואחד -) נותנים תמיד תוצאה שלילית (-).
- הסדר הנכון: קודם קובעים את הסימן של התוצאה, ורק אחר כך כופלים או מחלקים את הגדלים (המספרים בלי הסימן).
- כלל הסימנים זהה לגמרי בכפל ובחילוק - אין הבדל ביניהם.