גופים במרחב
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, זה אני, לומדי! אני יודע שקובייה, תיבה ומנסרה נשמעות כמו הרבה נוסחאות ביחד, אבל בואו נחשוב על זה ככה: נפח הוא כמה מקום יש *בתוך* הקופסה, ושטח פנים הוא כמה נייר עטיפה צריך כדי *לעטוף* אותה מבחוץ. אם מתבלבלים – דמיינו שאתם פורסים את הגוף על הדף (זו הפריסה!), וכל פאה תספר לכם בדיוק כמה שטח היא תופסת. קחו את זה שלב אחרי שלב, ותגלו שזה הרבה יותר פשוט משזה נראה בהתחלה.
איזה גופים נלמד היום?
גוף במרחב הוא צורה תלת-ממדית, לא שטוחה כמו ריבוע או משולש על דף. לגוף יש פאות – הצדדים השטוחים שלו. היום נכיר שלושה גופים: קובייה (כמו קובית משחק – 6 פאות ריבועיות שוות), תיבה (כמו קופסת נעליים – 6 פאות מלבניות, בשלושה זוגות שווים) ומנסרה משולשת (כמו אוהל משולש – שני משולשים זהים בשני הקצוות, ושלושה מלבנים מחברים ביניהם).
נפח – כמה מקום יש בפנים?
הנפח מודד כמה 'מקום' יש בתוך הגוף, ונמדד ביחידות כמו סמ"ק (סנטימטר מעוקב). בקובייה כל הצלעות שוות, אז נפח = צלע × צלע × צלע (צלע בשלישית). בתיבה: נפח = אורך × רוחב × גובה. במנסרה משולשת יש שני 'גבהים' שונים, וחשוב לא לבלבל ביניהם: גובה המשולש (משמש לחישוב שטח הבסיס) וגובה המנסרה (האורך של הגוף כולו). נפח המנסרה = שטח הבסיס המשולש × גובה המנסרה.
פריסה – פותחים את הגוף לצורה שטוחה
פריסה היא הצורה שמתקבלת כשפותחים את הגוף וכל הפאות שלו נפרשות על משטח אחד שטוח. לכל גוף יש כמה פריסות אפשריות שונות (לקובייה, למשל, יש 11 פריסות שונות) - כולן נכונות, כל עוד הן מכילות בדיוק את הפאות הנכונות ומחוברות בצלעות משותפות תואמות. אחת הפריסות האפשריות של קובייה נראית כמו צלב: יש שורה של ארבעה ריבועים זהים, אחד ליד השני. מעל הריבוע השני בשורה יש עוד ריבוע אחד, ומתחתיו יש עוד ריבוע אחד. באופן דומה, אחת הפריסות האפשריות של תיבה בנויה כך: יש שורה של ארבעה מלבנים, אחד ליד השני. לכולם אותו גובה – גובה התיבה. אבל הרוחב שלהם מתחלף לסירוגין: אורך, רוחב, אורך, רוחב. הסיבה לכך: ארבע הפאות האלה עוטפות את התיבה מסביב-מסביב. לכן שני המלבנים שרוחבם 'אורך' שווים זה לזה, ושני המלבנים שרוחבם 'רוחב' שווים זה לזה. בנוסף, מעל אחד המלבנים שברצף מחובר מלבן נוסף בגודל אורך×רוחב, ומתחתיו מחובר עוד מלבן כזה. שני המלבנים האלה הם פאות המכסה והתחתית, וגם הן שוות זו לזו. כלל חשוב לכל פריסה: בכל מקום שבו שתי פאות נוגעות זו בזו, אורך הצלע המשותפת ביניהן חייב להיות זהה. פריסה אפשרית של מנסרה משולשת: יש שלושה מלבנים ברצף, אחד ליד השני. לכולם אותו אורך – גובה המנסרה. אבל הרוחב של כל מלבן שונה: הוא שווה לאורך אחת מצלעות המשולש. מעל המלבן האמצעי מחובר משולש אחד, ומתחתיו מחובר המשולש השני. כל משולש מחובר לאורך הצלע שמתאימה לרוחב המלבן האמצעי.
שטח פנים – סוכמים את כל הפאות
שטח הפנים הוא סכום השטחים של כל הפאות בפריסה, ונמדד בסמ"ר (סנטימטר רבוע). בקובייה כל 6 הפאות שוות, אז שטח פנים = 6 × (צלע בריבוע). בתיבה יש שלושה זוגות פאות, אז שטח פנים = 2×(אורך×רוחב + אורך×גובה + רוחב×גובה). במנסרה משולשת שטח הפנים = פעמיים שטח הבסיס המשולש, ועוד שטח שלושת המלבנים – שאפשר לחשב בבת אחת בתור היקף המשולש × גובה המנסרה.
דוגמאות פתורות
לקובייה יש אורך צלע 4 ס"מ. מצאו את הנפח ואת שטח הפנים של הקובייה.
- הנפח של קובייה הוא צלע × צלע × צלע (צלע בשלישית), כי כל הצלעות שוות.
- נציב את המספר: נפח = 4×4×4 = 64 סמ"ק.
- שטח הפנים של קובייה הוא 6 × (צלע בריבוע), כי יש לה 6 פאות ריבועיות שוות.
- נציב: שטח פנים = 6×(4×4) = 6×16 = 96 סמ"ר.
תשובה: נפח = 64 סמ"ק, שטח פנים = 96 סמ"ר.
לקופסת נעליים (תיבה) יש אורך 5 ס"מ, רוחב 4 ס"מ וגובה 3 ס"מ. מצאו את הנפח ואת שטח הפנים של הקופסה.
- הנפח של תיבה הוא אורך × רוחב × גובה.
- נציב את המספרים: נפח = 5 × 4 × 3 = 60 סמ"ק.
- שטח הפנים של תיבה הוא 2×(אורך×רוחב + אורך×גובה + רוחב×גובה).
- נחשב בתוך הסוגריים: (5×4) + (5×3) + (4×3) = 20 + 15 + 12 = 47.
- שטח פנים = 2 × 47 = 94 סמ"ר.
תשובה: נפח = 60 סמ"ק, שטח פנים = 94 סמ"ר.
לבסיס של מנסרה משולשת יש צורת משולש ישר-זווית. שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה הן 3 ס"מ ו-4 ס"מ, והצלע הארוכה שמול הזווית הישרה היא 5 ס"מ. גובה המנסרה (האורך שלה) הוא 10 ס"מ. מצאו את הנפח ואת שטח הפנים.
- קודם מחשבים את שטח הבסיס המשולש. במשולש ישר-זווית אפשר להשתמש בשתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה כבסיס וכגובה: שטח הבסיס = (1/2) × 3 × 4 = 6 סמ"ר.
- נפח המנסרה = שטח הבסיס × גובה המנסרה = 6 × 10 = 60 סמ"ק.
- לחישוב שטח הפנים צריך גם את היקף המשולש: 3 + 4 + 5 = 12 ס"מ.
- שטח הפנים = 2×(שטח הבסיס) + (היקף × גובה המנסרה) = 2×6 + 12×10 = 12 + 120 = 132 סמ"ר.
תשובה: נפח = 60 סמ"ק, שטח פנים = 132 סמ"ר.
תרגול
1. מצאו את הנפח ואת שטח הפנים של קובייה שאורך הצלע שלה 6 ס"מ.תרגול
- נפח קובייה = צלע בשלישית = 6×6×6 = 216 סמ"ק.
- שטח פנים קובייה = 6 × (צלע בריבוע) = 6×36 = 216 סמ"ר.
תשובה: נפח = 216 סמ"ק, שטח פנים = 216 סמ"ר.
2. לתיבה יש אורך 7 ס"מ, רוחב 3 ס"מ וגובה 2 ס"מ. מצאו את הנפח ואת שטח הפנים.תרגול
- נפח = אורך×רוחב×גובה = 7×3×2 = 42 סמ"ק.
- בתוך הסוגריים לשטח הפנים: (7×3)+(7×2)+(3×2) = 21+14+6 = 41.
- שטח פנים = 2×41 = 82 סמ"ר.
תשובה: נפח = 42 סמ"ק, שטח פנים = 82 סמ"ר.
3. לבסיס של מנסרה משולשת יש צורת משולש ישר-זווית. שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה הן 6 ס"מ ו-8 ס"מ, והצלע הארוכה שמול הזווית הישרה היא 10 ס"מ. גובה המנסרה הוא 15 ס"מ. מצאו את הנפח ואת שטח הפנים.תרגול
- שטח הבסיס = (1/2)×6×8 = 24 סמ"ר.
- נפח = שטח הבסיס × גובה המנסרה = 24×15 = 360 סמ"ק.
- היקף המשולש = 6+8+10 = 24 ס"מ.
- שטח פנים = 2×24 + 24×15 = 48+360 = 408 סמ"ר.
תשובה: נפח = 360 סמ"ק, שטח פנים = 408 סמ"ר.
4. רוצים לעטוף מתנה שנמצאת בקופסה בצורת קובייה עם צלע 10 ס"מ, בנייר עטיפה. כמה סמ"ר נייר עטיפה צריך לפחות, כדי לכסות את כל הקופסה (בלי חפיפות)?שאלה בהקשר
- נייר העטיפה צריך לכסות את כל שטח הפנים של הקובייה.
- שטח פנים קובייה = 6 × (צלע בריבוע) = 6×(10×10) = 6×100 = 600 סמ"ר.
תשובה: צריך לפחות 600 סמ"ר נייר עטיפה.
5. אקווריום פתוח מלמעלה (בלי מכסה) בצורת תיבה, עם אורך 40 ס"מ, רוחב 20 ס"מ וגובה 25 ס"מ. (א) כמה מים (בסמ"ק) יכולים להיכנס לאקווריום מלא? (ב) כמה זכוכית (בסמ"ר) צריך כדי לבנות אותו, אם אין מכסה למעלה?שאלה בהקשר
- (א) נפח = אורך×רוחב×גובה = 40×20×25 = 20000 סמ"ק — זו כמות המים המקסימלית.
- (ב) שטח פנים מלא של תיבה = 2×[(40×20)+(40×25)+(20×25)] = 2×[800+1000+500] = 2×2300 = 4600 סמ"ר.
- מכיוון שאין מכסה למעלה, מורידים את שטח פאת המכסה: אורך×רוחב = 40×20 = 800 סמ"ר.
- שטח הזכוכית הדרוש = 4600 − 800 = 3800 סמ"ר.
תשובה: (א) 20000 סמ"ק מים. (ב) 3800 סמ"ר זכוכית.
6. בונים אוהל בצורת מנסרה משולשת, בלי רצפת בד (הרצפה היא האדמה עצמה). הצד הקדמי המשולש של האוהל הוא משולש ישר-זווית עם צלעות 3 מ', 4 מ' ו-5 מ' (הצלע של 5 מ' היא זו שנשענת על הקרקע). אורך האוהל (גובה המנסרה) הוא 6 מ'. כמה בד צריך בסך הכול, לשני המשולשים ולשני חלקי הגג המשופעים (בלי הרצפה)?שאלה בהקשר
- שטח כל משולש (הצד הקדמי או האחורי) = (1/2)×3×4 = 6 מ"ר, כי הזווית הישרה נמצאת בין הצלעות 3 ו-4 (שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה).
- שני המשולשים ביחד: 2×6 = 12 מ"ר.
- שטח הפנים המלא של המנסרה, כולל הרצפה = 2×(שטח הבסיס) + (היקף×גובה המנסרה) = 12 + (3+4+5)×6 = 12+72 = 84 מ"ר.
- פאת הרצפה היא המלבן שמתאים לצלע של 5 מ': שטחה = 5×6 = 30 מ"ר. את זה לא מכסים בבד, כי זו הקרקע.
- בד דרוש = 84 − 30 = 54 מ"ר.
תשובה: צריך 54 מ"ר בד.
לזכירה
- נפח קובייה = צלע בשלישית; נפח תיבה = אורך × רוחב × גובה; נפח מנסרה משולשת = שטח הבסיס המשולש × גובה המנסרה.
- פריסה היא הגוף פתוח ושטוח – כל הפאות נראות בבת אחת, וזה עוזר לחשב שטח פנים.
- שטח פנים = סכום שטחי כל הפאות בפריסה. קובייה: 6×צלע². תיבה: 2×(אורך×רוחב+אורך×גובה+רוחב×גובה). מנסרה משולשת: 2×שטח הבסיס + היקף הבסיס×גובה המנסרה.
- שימו לב: יש גובה משולש (לחישוב שטח הבסיס) וגובה מנסרה (האורך של הגוף) – אלה שני דברים שונים!
- יחידות: נפח נמדד בסמ"ק (או מ"ק), שטח פנים נמדד בסמ"ר (או מ"ר).