נקודות על גרף ברביע I
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! תחשבו על נקודה על הגרף כמו הוראות הליכה פשוטות: קודם כמה צעדים ימינה, ואחר כך כמה צעדים למעלה - וזהו, הגעתם! הזוג הסדור (x,y) הוא בדיוק ההוראות האלה: המספר הראשון תמיד אומר כמה ימינה, והשני כמה למעלה. זכרו את הסדר הזה - ימינה קודם, למעלה אחר כך - ולעולם לא תתבלבלו, גם כשהמספרים גדולים.
מערכת צירים - שני קווים שנפגשים
מערכת צירים היא כמו מפת רחובות: יש קו אופקי שנקרא ציר ה-x, וקו אנכי שנקרא ציר ה-y. הנקודה שבה שני הקווים נפגשים נקראת ראשית הצירים, ומסמנים אותה (0,0). כל נקודה אחרת על הגרף נמצאת במרחק מסוים מהראשית, לפי שני הכיוונים האלה.
זוג סדור - הכתובת של הנקודה
כל נקודה על הגרף מקבלת 'כתובת' משלה, שנקראת זוג סדור, ורושמים אותה כך: (x,y) - המספרים האלה נקראים גם שיעורי הנקודה. x, המספר הראשון, אומר כמה יחידות זזים ימינה מהראשית; y, המספר השני, אומר כמה יחידות זזים למעלה. הסדר קובע הכל: הנקודה (3,5) היא לא אותה נקודה כמו (5,3).
איך מסמנים נקודה לפי הזוג הסדור שלה
כדי לסמן נקודה כמו B(6,4) על הגרף, מתחילים תמיד בראשית (0,0). קודם זזים 6 יחידות ימינה, לאורך ציר ה-x. משם זזים 4 יחידות למעלה, במקביל לציר ה-y - והגענו לנקודה B.
איך קוראים את השיעורים של נקודה מסומנת
אפשר גם לעשות את הדרך ההפוכה: לקחת נקודה שכבר מסומנת על הגרף ולמצוא את הזוג הסדור שלה. סופרים כמה יחידות הנקודה רחוקה ימינה מהראשית - זה ה-x. אחר כך סופרים כמה יחידות היא רחוקה למעלה - זה ה-y, וכותבים את שניהם (x,y).
רביע I - האזור שבו הכל חיובי
הצירים מחלקים את המישור לכמה אזורים. האזור הימני-עליון, שבו כל הנקודות נמצאות ימינה ולמעלה מהראשית, נקרא רביע I. בכל נקודה ברביע הזה, גם ה-x וגם ה-y הם מספרים חיוביים, גדולים מאפס.
דוגמאות פתורות
סמנו את הנקודה A(4,3) על מערכת הצירים.
- מתחילים תמיד בראשית הצירים - הנקודה (0,0), שם שני הצירים נפגשים.
- המספר הראשון בזוג הסדור, 4, הוא ה-x - הוא אומר כמה יחידות לזוז ימינה, לאורך ציר ה-x. זזים 4 יחידות ימינה מהראשית.
- המספר השני, 3, הוא ה-y - הוא אומר כמה יחידות לזוז למעלה, לאורך ציר ה-y. מהמקום שהגענו אליו, זזים 3 יחידות למעלה.
- המקום שהגענו אליו הוא הנקודה A. היא נמצאת ברביע I, כי שני המספרים בזוג הסדור שלה חיוביים.
תשובה: הנקודה A(4,3) מסומנת 4 יחידות ימינה ו-3 יחידות למעלה מהראשית.
בפארק שעשועים יש מפה עם רשת קווים. הראשית (0,0) היא שער הכניסה. דוכן הגלידה נמצא 2 יחידות מזרחה ו-6 יחידות צפונה משער הכניסה. מהו הזוג הסדור (השיעורים) של דוכן הגלידה?
- נזכרים שבזוג סדור (x,y), x הוא המרחק לאורך הציר האופקי (ימינה), ו-y הוא המרחק לאורך הציר האנכי (למעלה).
- 'מזרחה' על המפה מקביל לתנועה ימינה, כלומר לציר ה-x. דוכן הגלידה נמצא 2 יחידות מזרחה, לכן x=2.
- 'צפונה' מקביל לתנועה למעלה, כלומר לציר ה-y. דוכן הגלידה נמצא 6 יחידות צפונה, לכן y=6.
- מרכיבים את הזוג הסדור לפי הסדר הנכון: קודם x, אחר כך y.
תשובה: דוכן הגלידה נמצא בנקודה (2,6).
תרגול
1. נקודה נמצאת 6 יחידות ימינה ו-2 יחידות למעלה מהראשית. רשמו אותה כזוג סדור.תרגול
- בזוג סדור (x,y), x הוא המרחק ימינה מהראשית - כאן 6 יחידות, אז x=6.
- y הוא המרחק למעלה מהראשית - כאן 2 יחידות, אז y=2.
- מרכיבים את שני המספרים לפי הסדר: (x,y) = (6,2).
תשובה: (6,2)
2. הזוג הסדור של נקודה D הוא (5,9). כמה יחידות הולכים ימינה מהראשית? וכמה יחידות למעלה?תרגול
- בזוג סדור (x,y), המספר הראשון הוא ה-x, שאומר כמה ימינה. כאן x=5.
- המספר השני הוא ה-y, שאומר כמה למעלה. כאן y=9.
תשובה: 5 יחידות ימינה ו-9 יחידות למעלה.
3. מה ההבדל בין הנקודה (2,7) לנקודה (7,2)? האם זו אותה נקודה?תרגול
- בנקודה (2,7): x=2, כלומר זזים 2 ימינה; y=7, כלומר זזים 7 למעלה.
- בנקודה (7,2): x=7, כלומר זזים 7 ימינה; y=2, כלומר זזים 2 למעלה.
- אלה שני מקומות שונים לגמרי על הגרף, כי הסדר בזוג הסדור קובע מה x ומה y.
תשובה: לא, אלה שתי נקודות שונות - הסדר בזוג הסדור חשוב.
4. נקודה P נמצאת בדיוק מעל המספר 7 על ציר ה-x, ובאותו גובה כמו המספר 3 על ציר ה-y. מהו הזוג הסדור (השיעורים) של הנקודה P?תרגול
- אם P נמצאת בדיוק מעל המספר 7 על ציר ה-x, המרחק שלה ימינה מהראשית הוא 7, כלומר x=7.
- אם היא באותו גובה כמו המספר 3 על ציר ה-y, המרחק שלה למעלה מהראשית הוא 3, כלומר y=3.
- מרכיבים לפי הסדר: (x,y) = (7,3).
תשובה: P(7,3)
5. במפת השכונה, הראשית מייצגת את הבית של דנה. בית הספר נמצא 5 רחובות מזרחה ו-3 רחובות צפונה מהבית שלה. מה הזוג הסדור של בית הספר על המפה?שאלה בהקשר
- מזרחה מקביל לתנועה ימינה - זה ה-x. בית הספר נמצא 5 רחובות מזרחה, אז x=5.
- צפונה מקביל לתנועה למעלה - זה ה-y. בית הספר נמצא 3 רחובות צפונה, אז y=3.
- מרכיבים לפי הסדר: (x,y) = (5,3).
תשובה: (5,3)
6. באולם קולנוע, המושבים מסומנים לפי זוג סדור: המספר הראשון הוא כמה מושבים מימין לאבא (שיושב במקום ההתחלה של השורה), והמספר השני הוא מספר השורה. המקום של יעל הוא (4,6). כמה מושבים מימין לאבא יעל יושבת, ובאיזו שורה?שאלה בהקשר
- המספר הראשון בזוג הסדור (4,6) הוא x=4 - זה מספר המושבים מימין לאבא.
- המספר השני הוא y=6 - זה מספר השורה.
תשובה: יעל יושבת 4 מושבים מימין לאבא, בשורה מספר 6.
7. במשחק ציד אוצר, האוצר טמון בנקודה (9,4). דני טעה וחשב שהאוצר נמצא בנקודה (4,9). האם הוא יגיע לאותו מקום? הסבירו מדוע חשוב לשים לב לסדר המספרים בזוג הסדור.שאלה בהקשר
- בנקודה (9,4): x=9 (9 צעדים ימינה), y=4 (4 צעדים למעלה).
- בנקודה (4,9): x=4 (4 צעדים ימינה), y=9 (9 צעדים למעלה).
- אלה שני מקומות שונים על המפה, למרות שהמספרים 9 ו-4 מופיעים בשתיהן - הסדר קובע איפה בדיוק נמצאת הנקודה.
תשובה: לא, דני לא יגיע לאותו מקום - צריך תמיד לשים לב מי המספר הראשון (x) ומי השני (y).
8. בספרייה, פינת הקריאה נחשבת לראשית (0,0). מדף ספרי המדע נמצא בנקודה (3,8), ומדף ספרי ההרפתקאות נמצא בנקודה (8,3). איזה מדף נמצא רחוק יותר ימינה מפינת הקריאה? איזה מדף גבוה יותר (רחוק יותר למעלה)? באיזה רביע נמצאים שני המדפים, ולמה?שאלה בהקשר
- מדף ספרי המדע נמצא בנקודה (3,8): x=3, כלומר 3 יחידות ימינה; y=8, כלומר 8 יחידות למעלה.
- מדף ספרי ההרפתקאות נמצא בנקודה (8,3): x=8, כלומר 8 יחידות ימינה; y=3, כלומר 3 יחידות למעלה.
- כדי לדעת איזה מדף רחוק יותר ימינה, משווים את ה-x של שתי הנקודות: 8 גדול מ-3, אז מדף ההרפתקאות (8,3) רחוק יותר ימינה.
- כדי לדעת איזה מדף גבוה יותר, משווים את ה-y של שתי הנקודות: 8 גדול מ-3, אז מדף המדע (3,8) גבוה יותר.
- בשתי הנקודות גם ה-x וגם ה-y הם מספרים חיוביים, ולכן שני המדפים נמצאים ברביע I.
תשובה: מדף ספרי ההרפתקאות (8,3) רחוק יותר ימינה; מדף ספרי המדע (3,8) גבוה יותר; שני המדפים נמצאים ברביע I, כי כל השיעורים שלהם חיוביים.
לזכירה
- מערכת הצירים מורכבת משני צירים: ציר ה-x (אופקי) וציר ה-y (אנכי), שנפגשים בראשית (0,0).
- כל נקודה על הגרף מתוארת בזוג סדור (x,y), שנקרא גם שיעורי הנקודה: x הוא כמה יחידות זזים ימינה, y הוא כמה יחידות זזים למעלה.
- הסדר בזוג הסדור קובע הכל - (x,y) הוא לא בהכרח אותה נקודה כמו (y,x).
- ברביע I שני המספרים בזוג הסדור תמיד חיוביים - זהו האזור הימני-עליון של המישור.
- כדי לסמן נקודה: מתחילים בראשית, זזים ימינה לפי x, ואז למעלה לפי y.