לומדי

משפט פיתגורס ושימושיו

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

אם אתם מרגישים שאתם מתבלבלים - תחשבו על זה ככה: בכל פעם שיש זווית ישרה (כמו פינה של דף או פינה של רחוב), שתי הצלעות שנפגשות בזווית הזאת "יודעות" לספר כמה אורך יש לצלע השלישית, זאת שנמצאת מולן - פשוט מעלים כל ניצב בריבוע, מחברים, ומוציאים שורש. זה בדיוק מה שעוזר למצוא מרחק במפה, להקיף שדה בגדר, ולדעת כמה מסלול קיצור באמת חוסך. אתם כבר יודעים את זה, רק צריך להתרגל עוד קצת.

מהו משפט פיתגורס?

משפט פיתגורס עוסק במשולש ישר-זווית - משולש שיש בו זווית של 90 מעלות. שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שנמצאת מול הזווית הישרה (הכי ארוכה) נקראת יתר. המשפט אומר שסכום הריבועים של הניצבים שווה לריבוע היתר: a²+b²=c². למשל, אם הניצבים הם 3 ו-4, אז היתר הוא 5, כי 3²+4²=9+16=25=5².

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

אפשר להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את המרחק הישר בין שתי נקודות A ו-B במערכת צירים, גם אם הן לא נמצאות על אותו קו אופקי או אנכי. מסמנים נקודת עזר C, שיש לה אותה קואורדינטת x כמו לאחת הנקודות (למשל B) ואותה קואורדינטת y כמו לנקודה השנייה (למשל A) - כך נוצרת ב-C זווית ישרה בדיוק, כי הקטע מ-A ל-C אופקי והקטע מ-C ל-B אנכי. שלושת הקטעים AC, CB ו-AB מרכיבים משולש ישר-זווית: AC ו-CB הם הניצבים (ההפרש האופקי וההפרש האנכי בין הנקודות), ו-AB הוא היתר. לכן, כדי למצוא את המרחק - מוצאים את שני ההפרשים, מעלים בריבוע, מחברים, ומוציאים שורש.

מה עושים עם הפרשים וקואורדינטות שליליות

כשמחשבים הפרש בין קואורדינטות, תמיד מחסרים את המספר הקטן מהגדול, כדי לקבל תוצאה חיובית - כי אורך אי אפשר שיהיה שלילי. לדוגמה, ההפרש בין הקואורדינטה מינוס 2 לקואורדינטה 3 הוא 3 פחות מינוס 2, כלומר 5. אפשר גם פשוט לספור כמה משבצות יש על הרשת בין שתי הנקודות. חשוב לזכור: המרחק הוא תמיד מספר חיובי (או אפס אם מדובר באותה נקודה).

חישוב היקף בעזרת משפט פיתגורס

לפעמים רוצים לחשב היקף של צורה (למשל שדה, משולש או חלקת אדמה), אבל אורך אחת הצלעות לא ניתן במפורש - רק שתי צלעות שיוצרות זווית ישרה. במקרה כזה, משתמשים במשפט פיתגורס כדי למצוא קודם את אורך הצלע החסרה (היתר), ורק אז מחברים את כל הצלעות כדי לקבל את ההיקף המלא. חשוב לזהות קודם איפה נמצאת הזווית הישרה בצורה, כדי לדעת אילו שתי צלעות הן הניצבים.

מסלולים: ללכת ישר או לאורך הצלעות?

משפט פיתגורס עוזר גם להשוות בין שני מסלולים אפשריים: מסלול ישר (אלכסוני) ומסלול שהולך לאורך שתי צלעות בזווית ישרה, כמו ללכת דרך שני רחובות של העיר במקום לחתוך דרך חצר. המסלול הישר הוא תמיד היתר של המשולש, ולכן הוא תמיד קצר יותר מהמסלול לאורך שתי הצלעות יחד. כדי לדעת בכמה המסלול הישר קצר יותר, מחשבים את היתר עם משפט פיתגורס, ומחסרים אותו מסכום שתי הצלעות.

דוגמאות פתורות

מצאו את המרחק בין הנקודה A(1,2) לנקודה B(5,5) על מערכת הצירים.

ACB
נקודת העזר C(5,2) יוצרת משולש ישר-זווית: הניצבים AC=4 ו-CB=3, והיתר AB (המרחק המבוקש) הוא 5
  1. מסמנים נקודת עזר C בנקודה (5,2): יש לה אותה קואורדינטת x כמו B (5) ואותה קואורדינטת y כמו A (2). כך נוצרת ב-C זווית ישרה - הקטע AC אופקי, והקטע CB אנכי.
  2. ההפרש בציר ה-x (אורך הקטע AC): 5-1=4. זהו אורך הניצב האופקי של המשולש.
  3. ההפרש בציר ה-y (אורך הקטע CB): 5-2=3. זהו אורך הניצב האנכי.
  4. הקטע AB הוא היתר של משולש ישר-זווית ACB, שהניצבים שלו הם AC=4 ו-CB=3.
  5. לפי משפט פיתגורס: AB²=4²+3²=16+9=25.
  6. AB=√25=5.

תשובה: המרחק בין הנקודות A ו-B הוא 5 יחידות.

לגינה יש צורה של משולש ישר-זווית. שני הניצבים שלה הם 6 מטרים ו-8 מטרים. רוצים להקיף את כל הגינה בגדר. מה האורך הכולל של הגדר?

ABC
משולש ישר-זווית: ניצבים AB=8 מ' ו-AC=6 מ', יתר BC=10 מ' (לפי משפט פיתגורס); היקף = 8+6+10=24 מ'
  1. הגינה היא משולש ישר-זווית, ולכן כדי למצוא את ההיקף צריך קודם למצוא את הצלע השלישית (היתר).
  2. לפי משפט פיתגורס: (יתר)²=6²+8²=36+64=100.
  3. יתר=√100=10 מטרים.
  4. ההיקף הוא סכום שלוש הצלעות: 6+8+10=24 מטרים.

תשובה: צריך גדר באורך 24 מטרים.

מגרש מלבני שגודלו 9 מטרים על 12 מטרים. ילד אחד הולך מפינה אחת לפינה הנגדית ישר על פני הדשא (באלכסון). ילד שני הולך לאורך שתי הצלעות של המגרש. בכמה מטרים המסלול הישר קצר יותר?

ABCD
מגרש מלבני 12×9 מ'; האלכסון AC (המסלול הישר) הוא 15 מ', לעומת המסלול A-B-C לאורך הצלעות שהוא 12+9=21 מ'
  1. המסלול הישר הוא האלכסון של המלבן - היתר של משולש ישר-זווית שהניצבים שלו הם 9 ו-12.
  2. לפי משפט פיתגורס: (אלכסון)²=9²+12²=81+144=225.
  3. אלכסון=√225=15 מטרים.
  4. המסלול לאורך שתי הצלעות: 9+12=21 מטרים.
  5. ההפרש: 21-15=6 מטרים.

תשובה: המסלול הישר קצר ב-6 מטרים (15 מטר לעומת 21 מטר).

תרגול

1. מצאו את המרחק בין הנקודות A(1,1) ו-B(4,5) במערכת הצירים.תרגול
  1. הפרש ה-x: 4-1=3.
  2. הפרש ה-y: 5-1=4.
  3. לפי משפט פיתגורס: מרחק²=3²+4²=9+16=25.
  4. מרחק=√25=5.

תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 5 יחידות.

2. מצאו את המרחק בין הנקודות A(2,3) ו-B(10,18).תרגול
  1. הפרש ה-x: 10-2=8.
  2. הפרש ה-y: 18-3=15.
  3. מרחק²=8²+15²=64+225=289.
  4. מרחק=√289=17.

תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 17 יחידות.

3. מצאו את המרחק בין הנקודות A(-2,0) ו-B(3,12).תרגול
  1. הפרש ה-x: 3 פחות מינוס 2, כלומר 5.
  2. הפרש ה-y: 12-0=12.
  3. מרחק²=5²+12²=25+144=169.
  4. מרחק=√169=13.

תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 13 יחידות.

4. במשולש ישר-זווית הניצבים הם 20 ס"מ ו-21 ס"מ. מצאו את היקף המשולש.תרגול
  1. יתר²=20²+21²=400+441=841.
  2. יתר=√841=29.
  3. היקף=20+21+29=70.

תשובה: היקף המשולש הוא 70 ס"מ.

5. משולש ישר-זווית נמצא על מערכת צירים, עם קודקודים בנקודות (0,0), (9,0) ו-(9,40). מצאו את היקף המשולש.תרגול
  1. הצלע בין (0,0) ל-(9,0) לאורך ציר ה-x, ואורכה 9-0=9.
  2. הצלע בין (9,0) ל-(9,40) לאורך קו אנכי, ואורכה 40-0=40. שתי הצלעות האלה ניצבות זו לזו.
  3. הצלע השלישית, בין (0,0) ל-(9,40), היא היתר: לפי משפט פיתגורס, יתר²=9²+40²=81+1600=1681.
  4. יתר=√1681=41.
  5. היקף=9+40+41=90.

תשובה: היקף המשולש הוא 90 יחידות.

6. על מפת שכונה, כל משבצת במערכת הצירים מייצגת 50 מטרים. הבית של דנה נמצא בנקודה (2,1) והספרייה נמצאת בנקודה (14,17). מה המרחק הישר (קו אווירי) בין הבית לספרייה, במטרים?שאלה בהקשר
  1. הפרש ה-x (במשבצות): 14-2=12.
  2. הפרש ה-y (במשבצות): 17-1=16.
  3. מרחק במשבצות²=12²+16²=144+256=400.
  4. מרחק במשבצות=√400=20.
  5. כל משבצת=50 מטר, אז המרחק במטרים=20×50=1000 מטר.

תשובה: המרחק הישר בין הבית לספרייה הוא 1000 מטר (20 משבצות).

7. שדה בצורת משולש ישר-זווית, שני הניצבים שלו הם 7 מטרים ו-24 מטרים. רוצים לגדר את כל השדה. מה אורך הגדר הדרוש?שאלה בהקשר
  1. יתר²=7²+24²=49+576=625.
  2. יתר=√625=25 מטרים.
  3. היקף (אורך הגדר)=7+24+25=56 מטרים.

תשובה: צריך גדר באורך 56 מטרים.

8. לגינה מלבנית מידות 10 מטרים על 24 מטרים. ילד אחד הולך באלכסון מפינה לפינה, השני הולך לאורך שתי הצלעות. בכמה מטרים המסלול האלכסוני קצר יותר?שאלה בהקשר
  1. אלכסון²=10²+24²=100+576=676.
  2. אלכסון=√676=26 מטרים.
  3. מסלול לאורך הצלעות=10+24=34 מטרים.
  4. הפרש=34-26=8 מטרים.

תשובה: המסלול האלכסוני קצר ב-8 מטרים (26 מטר לעומת 34 מטר).

9. מגרש משחקים מלבני שגודלו 15 מטרים על 20 מטרים. ילד רץ מפינה אחת לפינה הנגדית ישר על פני הדשא (באלכסון), במקום לרוץ לאורך שתי הצלעות. בכמה מטרים הוא חוסך?שאלה בהקשר
  1. אלכסון²=15²+20²=225+400=625.
  2. אלכסון=√625=25 מטרים.
  3. מסלול לאורך הצלעות=15+20=35 מטרים.
  4. חיסכון=35-25=10 מטרים.

תשובה: הוא חוסך 10 מטרים (25 מטר באלכסון לעומת 35 מטר לאורך הצלעות).

לזכירה

  • משפט פיתגורס: בכל משולש ישר-זווית, a²+b²=c² (c הוא היתר, מול הזווית הישרה).
  • מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים = היתר של משולש שהניצבים שלו הם הפרש ה-x והפרש ה-y.
  • הפרשי קואורדינטות מחשבים תמיד מהגדול פחות הקטן - המרחק הוא תמיד מספר חיובי.
  • כדי לחשב היקף עם צלע חסרה - קודם מוצאים אותה עם משפט פיתגורס, ורק אז מחברים את כל הצלעות.
  • מסלול ישר (אלכסוני) תמיד קצר יותר ממסלול לאורך שתי צלעות בזווית ישרה.
הקודםשטחים אהבאשטחים ב