שטחים א
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, כאן לומדי! אם כל הנוסחאות מתערבבות לך בראש - זה בסדר, זה קורה לכל תלמיד. תחשוב על שטח בפשטות: זה בדיוק כמו לשאול "כמה משבצות צריך כדי לכסות את הצורה הזאת?" וכל הנוסחאות שלמדנו הן רק דרכים חכמות לספור את זה מהר, בלי לספור משבצת-משבצת בעצמך. מלבן? אורך כפול רוחב. גם ריצוף וגם מערכת צירים הם בעצם אותו רעיון בלבוש אחר: בריצוף סופרים "משבצות גדולות" (אריחים) במקום משבצות קטנות, ובמערכת צירים המספרים על הצירים פשוט אומרים לנו כמה משבצות יש בכל צלע. אם משהו לא ברור, צייר את הצורה על נייר משבצות ונסה לספור - ואפשר תמיד לחזור לדוגמאות הפתורות ולעקוב אחרי הצעדים יחד איתי, צעד אחר צעד.
מהו שטח, ואיך מודדים אותו?
שטח הוא הגודל של המשטח שצורה תופסת - כמה 'מקום' היא תופסת על דף, על רצפה, או בכל מקום אחר. כדי למדוד שטח, משתמשים ביחידות ריבועיות: יחידת השטח "סנטימטר רבוע" (סמ"ר) היא שטחו של ריבוע שאורך צלעו 1 סנטימטר, ויחידת השטח "מטר רבוע" (מ"ר) היא שטחו של ריבוע שאורך צלעו 1 מטר. אנחנו מחשבים שטחים גם של צורות מצוירות על נייר (במישור) וגם של מקומות אמיתיים סביבנו (במרחב) - כמו רצפה של חדר, קיר, או חלקת גינה. בשני המקרים אותם כללי חישוב עובדים בדיוק אותו הדבר.
שטח של מלבן וריבוע
כדי למצוא שטח של מלבן, אפשר לצייר אותו על נייר משבצות ולספור כמה משבצות (ריבועים קטנים) נכנסות בתוכו. מהר מתגלה קיצור דרך: שטח מלבן = אורך כפול רוחב. למשל, מלבן שאורכו 4 יחידות ורוחבו 3 יחידות מכיל 4×3=12 משבצות, ולכן שטחו 12. ריבוע הוא מקרה פרטי של מלבן, שבו כל הצלעות שוות זו לזו - ולכן שטח ריבוע = צלע כפול צלע.
ריצופים: שטח בחיים האמיתיים
כשמרצפים רצפה באריחים, האריחים מונחים זה לצד זה בלי רווחים ובלי חפיפות ביניהם, ומכסים יחד את כל הרצפה. בגלל זה, שטח הרצפה כולה שווה בדיוק לשטח של אריח אחד כפול מספר האריחים. לכן, אם יודעים את שטח הרצפה ואת שטח אריח בודד, אפשר לגלות כמה אריחים צריך: מספר האריחים = שטח הרצפה חלקי שטח אריח אחד. זו דוגמה לשימוש בחישוב שטח כדי לפתור בעיה מהחיים האמיתיים, לא רק תרגיל על דף.
שטחים במערכת צירים
אפשר גם לצייר צורה על מערכת צירים, ולמצוא את שטחה לפי הקואורדינטות (המספרים) של הקודקודים שלה. את האורך האופקי מוצאים על ידי חיסור בין ערכי ה-x של שני קודקודים - מחסרים את הערך הקטן מהערך הגדול, כדי לקבל תמיד מספר חיובי. באותו אופן, את האורך האנכי מוצאים על ידי חיסור בין ערכי ה-y של שני הקודקודים, גם כאן הערך הגדול פחות הקטן. אחרי שמוצאים כך את האורך ואת הרוחב, מחשבים את השטח בדיוק כמו בכל מלבן - אורך כפול רוחב. כרגע עובדים רק ברביע הראשון של מערכת הצירים, שבו כל הקואורדינטות חיוביות.
דוגמאות פתורות
לחדר משחקים יש רצפה בצורת מלבן. אורך הרצפה הוא 6 מטר ורוחבה 4 מטר. מה שטח הרצפה?
- הצורה של הרצפה היא מלבן, עם אורך = 6 מ' ורוחב = 4 מ'.
- הנוסחה לשטח מלבן היא: שטח = אורך × רוחב.
- נציב את המספרים: שטח = 6 × 4.
- נחשב: 6 × 4 = 24.
- מכיוון שהאורך והרוחב נמדדו במטרים, גם יחידת השטח היא ביחידות "מטר" בריבוע - מטר רבוע (מ"ר).
תשובה: שטח הרצפה הוא 24 מ"ר.
רוצים לרצף רצפה של חדר שגודלה 5 מטר על 3 מטר, באריחים ריבועיים שכל אחד מהם בגודל 1 מטר על 1 מטר. כמה אריחים צריך כדי לכסות את כל הרצפה, בלי רווחים וללא חפיפות?
- קודם מחשבים את שטח הרצפה: שטח = אורך × רוחב = 5 × 3.
- 5 × 3 = 15, כלומר שטח הרצפה הוא 15 מ"ר.
- עכשיו מחשבים את שטח אריח אחד: 1 × 1 = 1 מ"ר.
- מכיוון שהאריחים מכסים את הרצפה בלי רווחים ובלי חפיפות, מספר האריחים = שטח הרצפה : שטח אריח אחד.
- מספר האריחים = 15 : 1 = 15.
תשובה: צריך 15 אריחים כדי לרצף את כל הרצפה.
במערכת צירים מסומן מלבן שקודקודיו בנקודות (2,1), (7,1), (7,5), (2,5). כל צלע של משבצת ברשת מייצגת אורך של 1 ס"מ. מה שטח המלבן?
- הצלע האופקית (התחתונה) נמתחת בין x=2 ל-x=7, ולכן אורכה = 7 - 2 = 5 (הגדול פחות הקטן).
- הצלע האנכית נמתחת בין y=1 ל-y=5, ולכן אורכה = 5 - 1 = 4 (הגדול פחות הקטן).
- עכשיו יש מלבן עם אורך 5 ורוחב 4, ואפשר להשתמש בנוסחה הרגילה: שטח = אורך × רוחב.
- נחשב: 5 × 4 = 20.
תשובה: שטח המלבן הוא 20 סמ"ר.
תרגול
1. חשבו את שטח המלבן שאורכו 9 ס"מ ורוחבו 5 ס"מ.תרגול
- נשתמש בנוסחה: שטח מלבן = אורך × רוחב.
- נציב: שטח = 9 × 5.
- נחשב: 9 × 5 = 45.
תשובה: 45 סמ"ר.
2. חשבו את שטח הריבוע שאורך צלעו 7 ס"מ.תרגול
- בריבוע כל הצלעות שוות זו לזו, ולכן שטח ריבוע = צלע × צלע.
- נציב: שטח = 7 × 7.
- נחשב: 7 × 7 = 49.
תשובה: 49 סמ"ר.
3. במערכת צירים מסומן מלבן שקודקודיו בנקודות (2,3), (9,3), (9,7), (2,7). כל צלע של משבצת ברשת מייצגת אורך של 1 ס"מ. מה שטח המלבן?תרגול
- הצלע האופקית נמתחת בין x=2 ל-x=9, ולכן אורכה = 9 - 2 = 7 (הגדול פחות הקטן).
- הצלע האנכית נמתחת בין y=3 ל-y=7, ולכן אורכה = 7 - 3 = 4 (הגדול פחות הקטן).
- שטח מלבן = אורך × רוחב = 7 × 4.
- נחשב: 7 × 4 = 28.
תשובה: 28 סמ"ר.
4. צריך לקנות שטיח שיכסה בדיוק את כל רצפת החדר. הרצפה בצורת מלבן, אורכה 3 מטר ורוחבה 2.5 מטר. מה השטח של השטיח שצריך לקנות?שאלה בהקשר
- הרצפה היא מלבן, עם אורך = 3 מ' ורוחב = 2.5 מ'.
- שטח מלבן = אורך × רוחב.
- נציב: שטח = 3 × 2.5.
- נחשב: 3 × 2.5 = 7.5.
תשובה: צריך שטיח בשטח של 7.5 מ"ר.
5. רוצים לרצף רצפת חדר שגודלה 4 מטר על 6 מטר, באריחים ריבועיים שגודל כל אחד מהם 1 מטר על 1 מטר. כמה אריחים צריך כדי לכסות את כל הרצפה, בלי רווחים וללא חפיפות?שאלה בהקשר
- שטח הרצפה = אורך × רוחב = 4 × 6.
- נחשב: 4 × 6 = 24, כלומר שטח הרצפה הוא 24 מ"ר.
- שטח אריח אחד = 1 × 1 = 1 מ"ר.
- מספר האריחים = שטח הרצפה : שטח אריח אחד = 24 : 1 = 24.
תשובה: צריך 24 אריחים.
6. מגרש מלבני מסומן במערכת צירים, כשהקודקודים שלו נמצאים בנקודות (1,1), (9,1), (9,6), (1,6). כל יחידה במערכת הצירים מייצגת 1 מטר. מה שטח המגרש?שאלה בהקשר
- הצלע האופקית נמתחת בין x=1 ל-x=9, ולכן אורכה = 9 - 1 = 8 מ' (הגדול פחות הקטן).
- הצלע האנכית נמתחת בין y=1 ל-y=6, ולכן אורכה = 6 - 1 = 5 מ' (הגדול פחות הקטן).
- שטח מלבן = אורך × רוחב = 8 × 5.
- נחשב: 8 × 5 = 40.
תשובה: שטח המגרש הוא 40 מ"ר.
לזכירה
- שטח הוא הגודל של המשטח שצורה תופסת, ומודדים אותו ביחידות ריבועיות כמו סמ"ר (סנטימטר רבוע) ומ"ר (מטר רבוע).
- שטח מלבן = אורך × רוחב; שטח ריבוע = צלע × צלע (כי כל הצלעות שוות).
- בריצוף, השטח הכולל שווה לשטח של אריח אחד כפול מספר האריחים - כך מחשבים כמה אריחים דרושים לכיסוי רצפה.
- כשצורה מסומנת על מערכת צירים, מוצאים את אורכי הצלעות שלה על ידי חיסור בין קואורדינטות (x עם x, y עם y, תמיד הגדול פחות הקטן כדי לקבל אורך חיובי), ואז מחשבים את השטח כרגיל.