מערכת צירים רביע I
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! תחשבו על מערכת הצירים כמו על מפה של פארק ענק. אני תמיד מתחיל מהשער הראשי - זו הראשית, (0,0). כדי להגיע לספסל האהוב עליי אני צריך לדעת רק שני דברים: כמה צעדים ללכת קדימה (ימינה), וכמה צעדים ללכת למעלה. זה בדיוק מה שהזוג הסדור (x,y) אומר לי - וברביע הראשון שני המספרים האלה תמיד חיוביים, כי אני תמיד הולך רק ימינה ולמעלה, אף פעם לא אחורה.
מערכת צירים – שני קווים מיוחדים
מערכת צירים בנויה משני ישרי מספרים שנפגשים בזווית ישרה (90 מעלות). הישר האופקי נקרא ציר ה-x, והישר האנכי נקרא ציר ה-y. הנקודה שבה שני הצירים נפגשים נקראת "ראשית הצירים", ומסומנת (0,0). מנקודה זו סופרים ימינה על ציר ה-x, ולמעלה על ציר ה-y.
רביע ראשון – הפינה של המספרים החיוביים
שני הצירים מחלקים את המישור - כל השטח שהצירים נמצאים בו, כמו כל הדף שאתם מציירים עליו - לארבעה אזורים, שנקראים "רבעים". ברביע הראשון, שנמצא מעל ומימין לראשית, כל הנקודות מתוארות רק במספרים חיוביים - גם על ציר ה-x וגם על ציר ה-y. בשיעור הזה נעבוד רק ברביע הראשון, כלומר רק עם מספרים חיוביים.
זוג סדור – איך רושמים נקודה
כל נקודה במערכת הצירים מתוארת בזוג מספרים בסוגריים, למשל (3,2). המספר הראשון תמיד אומר כמה צעדים ללכת ימינה (על ציר ה-x), והמספר השני אומר כמה צעדים ללכת למעלה (על ציר ה-y). הסדר חשוב מאוד: הנקודה (3,2) היא לא אותו מקום כמו (2,3).
מסמנים נקודה לפי הקואורדינטות
כדי לסמן נקודה כמו (4,3): מתחילים בראשית (0,0), זזים 4 יחידות ימינה לאורך ציר ה-x, ומאותו מקום זזים 3 יחידות למעלה, במקביל לציר ה-y. במקום שאליו מגיעים שמים נקודה - זו הנקודה (4,3).
קוראים קואורדינטות של נקודה קיימת
אם רואים נקודה מסומנת על הגרף, אפשר לגלות את הקואורדינטות שלה בכיוון ההפוך: סופרים כמה יחידות היא רחוקה ימינה מהראשית - זה המספר הראשון, ואז כמה יחידות היא רחוקה למעלה - זה המספר השני. לדוגמה, נקודה שנמצאת 5 ימינה ו-2 למעלה מהראשית, הקואורדינטות שלה הן (5,2).
דוגמאות פתורות
סמנו את הנקודה (3,2) במערכת צירים.
- מתחילים בראשית הצירים, הנקודה (0,0).
- זזים 3 יחידות ימינה לאורך ציר ה-x, כי המספר הראשון בזוג הסדור הוא 3.
- מהמקום הזה זזים 2 יחידות למעלה, במקביל לציר ה-y, כי המספר השני הוא 2.
- מסמנים נקודה במקום שאליו הגענו - זו הנקודה (3,2).
תשובה: הנקודה (3,2) נמצאת 3 יחידות ימינה ו-2 יחידות למעלה מהראשית.
נקודה מסומנת על הגרף. היא נמצאת 6 יחידות ימינה מהראשית, ו-4 יחידות למעלה מהראשית. מהן הקואורדינטות שלה?
- המרחק ימינה מהראשית הוא תמיד המספר הראשון בזוג הסדור: 6.
- המרחק למעלה מהראשית הוא תמיד המספר השני בזוג הסדור: 4.
- כותבים את שני המספרים בסוגריים, לפי הסדר הזה: (6,4).
תשובה: הקואורדינטות של הנקודה הן (6,4).
בפארק שעשועים, הכניסה נמצאת בראשית הצירים (0,0). מגלשה נמצאת 5 צעדים מזרחה (ימינה) ו-7 צעדים צפונה (למעלה) מהכניסה. רשמו את מיקום המגלשה כזוג סדור.
- "מזרחה" במפה הזו מתאים לכיוון החיובי של ציר ה-x, ו"צפונה" מתאים לכיוון החיובי של ציר ה-y.
- המספר הראשון בזוג הסדור הוא מספר הצעדים ימינה: 5.
- המספר השני בזוג הסדור הוא מספר הצעדים למעלה: 7.
- הזוג הסדור הוא (5,7).
תשובה: מיקום המגלשה הוא (5,7).
תרגול
1. כתבו את זוג הקואורדינטות של נקודה שנמצאת 7 יחידות ימינה ו-1 יחידה למעלה מהראשית.תרגול
- המספר הראשון בזוג הסדור הוא המרחק ימינה מהראשית: 7.
- המספר השני בזוג הסדור הוא המרחק למעלה מהראשית: 1.
- כותבים את שני המספרים לפי הסדר: (7,1).
תשובה: (7,1)
2. נתונה הנקודה (4,9). כמה יחידות צריך ללכת ימינה מהראשית, וכמה למעלה, כדי להגיע אליה?תרגול
- המספר הראשון בזוג הסדור הוא 4 - זה תמיד מספר הצעדים ימינה.
- המספר השני בזוג הסדור הוא 9 - זה תמיד מספר הצעדים למעלה.
תשובה: 4 יחידות ימינה ו-9 יחידות למעלה.
3. האם הנקודה (3,8) זהה לנקודה (8,3)? הסבירו לפי הגדרת הזוג הסדור.תרגול
- בזוג סדור הסדר קובע הכל: המספר הראשון הוא תמיד המרחק ימינה, השני הוא תמיד המרחק למעלה.
- בנקודה (3,8): 3 יחידות ימינה ו-8 יחידות למעלה.
- בנקודה (8,3): 8 יחידות ימינה ו-3 יחידות למעלה.
- אלו שני מיקומים שונים לגמרי במישור.
תשובה: לא, אלו שתי נקודות שונות, כי החלפת הסדר בין המספרים משנה את המיקום.
4. בין הנקודות (2,10) ו-(9,10), איזו נקודה רחוקה יותר מהראשית לאורך ציר ה-x?תרגול
- המרחק לאורך ציר ה-x הוא המספר הראשון בזוג הסדור.
- לנקודה (2,10) המספר הראשון הוא 2. לנקודה (9,10) המספר הראשון הוא 9.
- 9 גדול מ-2, ולכן הנקודה (9,10) רחוקה יותר לאורך ציר ה-x.
תשובה: הנקודה (9,10).
5. ציפור יושבת בראשית הצירים על ענף. היא עפה 6 מטרים ימינה ו-3 מטרים למעלה, ונוחתת על עץ. מהן הקואורדינטות של מקום הנחיתה?שאלה בהקשר
- תנועה ימינה קובעת את המספר הראשון בזוג הסדור: 6.
- תנועה למעלה קובעת את המספר השני בזוג הסדור: 3.
- הזוג הסדור המתאר את מקום הנחיתה הוא (6,3).
תשובה: (6,3)
6. בים פתוח יש נמל שנמצא בדיוק בראשית הצירים (0,0). סירה יוצאת מהנמל, שטה 8 ק"מ מזרחה (ימינה) ו-5 ק"מ צפונה (למעלה), ועוגנת שם. רשמו את מיקום העגינה של הסירה כזוג סדור.שאלה בהקשר
- "מזרחה" מתאים לכיוון החיובי של ציר ה-x, ו"צפונה" מתאים לכיוון החיובי של ציר ה-y, בדיוק כמו במפה של פארק השעשועים.
- המספר הראשון בזוג הסדור הוא מספר הק"מ ימינה מהנמל (הראשית): 8.
- המספר השני בזוג הסדור הוא מספר הק"מ למעלה מהנמל: 5.
- הזוג הסדור המתאר את מקום העגינה הוא (8,5).
תשובה: (8,5)
7. בכיתה, השולחנות מסודרים לפי מערכת צירים: המספר הראשון הוא מספר הטור מהקיר השמאלי, והמספר השני הוא מספר השורה מהלוח. דנה יושבת בטור 3, שורה 6. רשמו את מקומה של דנה כזוג סדור, והסבירו למה הסדר חשוב.שאלה בהקשר
- הטור מתאים למספר הראשון בזוג הסדור (כמו ציר ה-x), והשורה מתאימה למספר השני (כמו ציר ה-y).
- דנה יושבת בטור 3, שורה 6, ולכן הזוג הסדור הוא (3,6).
- אם היינו הופכים את הסדר לכתוב (6,3), זה היה מתאר תלמיד בטור 6 שורה 3 - מקום אחר לגמרי בכיתה.
תשובה: (3,6) - הסדר חשוב כי הוא קובע אם המספר מתאר טור או שורה.
לזכירה
- מערכת צירים בנויה משני ישרים שנפגשים בזווית ישרה (ציר ה-x האופקי וציר ה-y האנכי), בנקודה שנקראת ראשית הצירים (0,0).
- הצירים מחלקים את המישור (כל השטח שהצירים נמצאים בו) לארבעה רבעים; ברביע הראשון שני המספרים בקואורדינטות - גם x וגם y - הם תמיד חיוביים.
- כל נקודה מתוארת בזוג סדור (x,y): המספר הראשון הוא המרחק ימינה מהראשית, השני הוא המרחק למעלה.
- הסדר בזוג הסדור קובע הכל - הנקודה (a,b) שונה מהנקודה (b,a) כאשר a שונה מ-b.
- כדי לסמן נקודה: זוזו ימינה לפי המספר הראשון, ואז למעלה לפי המספר השני. כדי לקרוא נקודה קיימת: עשו את התהליך הפוך.