הרחבת מערכת הצירים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אם מתבלבלים בין הרביעים - תחשבו על זה ככה: הראשית זה בדיוק כמו נקודת האמצע של חדר, וכל מה שהכרתם עד היום (ימינה ולמעלה) זה רק רבע אחד מהחדר - אחד מתוך ארבעה. עכשיו פשוט הוספנו גם 'שמאלה' ו'למטה' - וזה כל הסיפור של מספר שלילי, הוא רק אומר לכם ללכת לכיוון ההפוך. אז בפעם הבאה שנתקעתם, תסתכלו רק על שני הסימנים של הנקודה (חיובי או שלילי), ותדעו מיד לאיזה רביע היא שייכת. אתם כבר יודעים את זה, רק צריך לזכור להסתכל!
מה זכרתם ממערכת הצירים?
בשיעור "מערכת צירים רביע I" הכרתם מערכת צירים עם ציר x (אופקי) וציר y (אנכי), שנפגשים בנקודה שנקראת ראשית (0,0). כל נקודה סומנה בזוג מספרים (x,y) - למשל, הנקודה (3,2) אומרת 'לכו 3 ימינה ו-2 למעלה מהראשית'. אבל השתמשתם רק במספרים חיוביים, אז כל הנקודות היו רק באזור אחד - ימינה ולמעלה מהראשית.
מרחיבים את שני הצירים למספרים שליליים
עכשיו נרחיב את שני הצירים כך שיכללו גם מספרים שליליים, בדיוק כמו שציר המספרים כולל גם מספרים שליליים משמאל לאפס. על ציר ה-x, מספר שלילי אומר לזוז שמאלה מהראשית במקום ימינה. על ציר ה-y, מספר שלילי אומר לזוז למטה מהראשית במקום למעלה. לדוגמה, x=-4 פירושו 4 יחידות שמאלה, ו-y=-2 פירושו 2 יחידות למטה.
ארבעה רביעים - שם וסימנים
שני הצירים המורחבים מחלקים את המישור לארבעה אזורים, שנקראים רביעים. מספרים את הרביעים I, II, III, IV, נגד כיוון השעון, החל מהאזור העליון-ימני. בכל רביע יש דפוס קבוע של סימנים: רביע I הוא (+,+), רביע II הוא (-,+), רביע III הוא (-,-), ורביע IV הוא (+,-). אם יודעים את הסימנים של שתי הקואורדינטות של נקודה, אפשר לדעת מיד באיזה רביע היא נמצאת - בלי לצייר בכלל.
איך מסמנים נקודה עם קואורדינטות שליליות
כדי לסמן נקודה כמו (-4,3), תמיד מתחילים מהראשית (0,0). קודם זזים לפי הקואורדינטה הראשונה על ציר ה-x - כאן -4, כלומר 4 יחידות שמאלה. אחר כך זזים לפי הקואורדינטה השנייה על ציר ה-y - כאן 3, כלומר 3 יחידות למעלה מהמקום שהגענו אליו. במקום שמגיעים אליו מסמנים את הנקודה.
נקודות שיושבות בדיוק על ציר
לפעמים נקודה לא נמצאת בתוך אף רביע, אלא בדיוק על אחד הצירים. אם הקואורדינטה x שווה ל-0, הנקודה יושבת על ציר ה-y (למשל (0,-3)). אם הקואורדינטה y שווה ל-0, הנקודה יושבת על ציר ה-x (למשל (5,0)). והנקודה (0,0) עצמה, הראשית, היא המקום שבו שני הצירים נפגשים.
דוגמאות פתורות
מהם הצעדים למיקום הנקודה A(-4, 3) על מערכת הצירים?
- מתחילים תמיד מנקודת הראשית (0,0), המקום שבו שני הצירים נפגשים.
- הקואורדינטה הראשונה היא -4 - זו הקואורדינטה על ציר ה-x. מספר שלילי אומר לזוז שמאלה, אז זזים 4 יחידות שמאלה מהראשית.
- הקואורדינטה השנייה היא 3 - זו הקואורדינטה על ציר ה-y. מספר חיובי אומר לזוז למעלה, אז זזים 3 יחידות למעלה מהמקום שהגענו אליו.
- מסמנים נקודה במקום שהגענו אליו - זו הנקודה A.
תשובה: הנקודה A(-4,3) נמצאת 4 יחידות שמאלה ו-3 יחידות למעלה מהראשית, ברביע השני (II).
באיזה רביע נמצאת הנקודה B(2, -5)? נמקו לפי הסימנים, בלי לצייר.
- מסתכלים על הסימן של הקואורדינטה הראשונה (x): 2 הוא מספר חיובי, כלומר (+).
- מסתכלים על הסימן של הקואורדינטה השנייה (y): -5 הוא מספר שלילי, כלומר (-).
- נזכרים בטבלת הסימנים של הרביעים: רביע I=(+,+), רביע II=(-,+), רביע III=(-,-), רביע IV=(+,-).
- הסימנים שמצאנו, (+,-), מתאימים בדיוק לרביע IV.
תשובה: הנקודה B(2,-5) נמצאת ברביע הרביעי (IV).
תרגול
1. קבעו באיזה רביע (או על איזה ציר) נמצאת כל אחת מהנקודות הבאות: A(-2, 5), B(0, -6), C(3, -1), D(-4, -4).תרגול
- A(-2, 5): הקואורדינטה x שלילית והקואורדינטה y חיובית, כלומר (-, +) - זה רביע II.
- B(0, -6): הקואורדינטה x שווה לאפס, כלומר הנקודה לא בתוך אף רביע - היא יושבת בדיוק על ציר ה-y.
- C(3, -1): הקואורדינטה x חיובית והקואורדינטה y שלילית, כלומר (+, -) - זה רביע IV.
- D(-4, -4): שתי הקואורדינטות שליליות, כלומר (-, -) - זה רביע III.
תשובה: A ברביע II, B על ציר ה-y, C ברביע IV, D ברביע III.
2. כתבו את הקואורדינטות של הנקודה שנמצאת 5 יחידות משמאל לראשית ו-3 יחידות מעל לראשית.תרגול
- 'משמאל לראשית' זה הכיוון השלילי על ציר ה-x, אז x = -5.
- 'מעל לראשית' זה הכיוון החיובי על ציר ה-y, אז y = 3.
- כותבים את הזוג המסודר (x, y).
תשובה: (-5, 3)
3. הנקודה E נמצאת ברביע III. מה אפשר לומר על הסימנים (חיובי/שלילי) של שתי הקואורדינטות שלה? תנו דוגמה למספרים אפשריים.תרגול
- נזכרים בטבלת הסימנים של הרביעים: רביע III הוא הרביע שבו (x, y) = (-, -).
- כלומר גם x וגם y של הנקודה E חייבים להיות שליליים.
תשובה: גם ה-x וגם ה-y של E שליליים, למשל E יכולה להיות (-2, -6).
4. מהן הקואורדינטות של נקודה שנמצאת על ציר ה-x, במרחק 7 יחידות מהראשית, בצד השלילי?תרגול
- נקודה שנמצאת על ציר ה-x פירושה שהקואורדינטה השנייה שלה היא 0, כלומר y = 0.
- מרחק 7 יחידות בצד השלילי של ציר ה-x פירושו x = -7.
תשובה: (-7, 0)
5. מפת שכונה מצוירת על מערכת צירים, וכיכר העיר נמצאת בראשית (0,0). הספרייה נמצאת 4 רחובות מזרחה מהכיכר ו-3 רחובות דרומה. אם מזרח הוא הכיוון החיובי של ציר ה-x ודרום הוא הכיוון השלילי של ציר ה-y - מהן הקואורדינטות של הספרייה, ובאיזה רביע היא נמצאת?שאלה בהקשר
- מזרחה זה הכיוון החיובי על ציר ה-x, אז x = 4.
- דרומה זה הכיוון השלילי על ציר ה-y, אז y = -3.
- הקואורדינטות של הספרייה: (4, -3).
- הסימנים (+, -) מתאימים לרביע IV.
תשובה: הספרייה נמצאת בנקודה (4, -3), ברביע הרביעי.
6. בניסוי מדעי, ציר ה-x מייצג דקות מתחילת המדידה (מספר שלילי = לפני שהניסוי התחיל) וציר ה-y מייצג טמפרטורה במעלות (מספר שלילי = מתחת לאפס). 2 דקות לפני תחילת הניסוי נמדדה טמפרטורה של 5 מעלות מתחת לאפס. כתבו את הנקודה שמייצגת את המצב הזה, ואמרו באיזה רביע היא נמצאת.שאלה בהקשר
- '2 דקות לפני תחילת הניסוי' זה ערך שלילי על ציר הזמן (x), אז x = -2.
- '5 מעלות מתחת לאפס' זה ערך שלילי על ציר הטמפרטורה (y), אז y = -5.
- הנקודה המתאימה: (-2, -5).
- הסימנים (-, -) מתאימים לרביע III.
תשובה: הנקודה היא (-2, -5), והיא נמצאת ברביע השלישי.
7. במשחק מחשב המסך מחולק למערכת צירים. אביב נמצא בנקודה (6, 4) ונועה נמצאת בנקודה (-6, -4). באיזה רביע נמצא כל אחד מהם?שאלה בהקשר
- אביב (6, 4): שתי הקואורדינטות חיוביות, (+, +) - רביע I.
- נועה (-6, -4): שתי הקואורדינטות שליליות, (-, -) - רביע III.
תשובה: אביב נמצא ברביע I, ונועה נמצאת ברביע III.
8. בגרף רווח-הפסד של חנות, ציר ה-x מייצג חודשים (חודש שלילי = לפני שהחנות נפתחה) וציר ה-y מייצג רווח באלפי שקלים (מספר שלילי = הפסד). בחודש שלפני הפתיחה הייתה החנות בהפסד של 3000 שקל. כתבו את הנקודה המתאימה, ואמרו על איזה ציר או ברביע היא נמצאת.שאלה בהקשר
- 'חודש שלפני הפתיחה' זה ערך שלילי על ציר ה-x, אז x = -1.
- 'הפסד של 3000 שקל' זה ערך שלילי על ציר ה-y (ביחידות אלפי שקלים), אז y = -3.
- הנקודה המתאימה: (-1, -3).
- הסימנים (-, -) מתאימים לרביע III.
תשובה: הנקודה היא (-1, -3), והיא נמצאת ברביע השלישי.
לזכירה
- במערכת הצירים המורחבת יש מספרים שליליים גם על ציר ה-x וגם על ציר ה-y.
- מספר שלילי בקואורדינטת ה-x אומר לזוז שמאלה מהראשית; מספר שלילי בקואורדינטת ה-y אומר לזוז למטה.
- שני הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים: I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-), ממוספרים נגד כיוון השעון החל מהאזור העליון-ימני.
- נקודה עם x=0 יושבת על ציר ה-y, ונקודה עם y=0 יושבת על ציר ה-x - היא לא נחשבת בתוך אף רביע.
- כדי לדעת מהר באיזה רביע נמצאת נקודה, מספיק להסתכל על הסימנים (חיובי/שלילי) של שתי הקואורדינטות שלה.