חזקות עם מעריך טבעי ושורש ריבועי חיובי
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, זה אני, לומדי! חזקה היא פשוט קיצור דרך לכפל חוזר - במקום לכתוב 2×2×2×2 שוב ושוב, כותבים 2⁴, בדיוק כמו שאני לא זוחל את אותו עלה כמה פעמים אלא פשוט אומר "עשיתי את זה 4 פעמים". ושורש ריבועי? זו רק השאלה ההפוכה: "איזה מספר, כשכופלים אותו בעצמו, נותן לי את המספר הזה?" - ותמיד עונים עם המספר החיובי, כדי שלכל שאלה תהיה תשובה אחת וברורה. אם התבלבלת, תחזרו לדוגמאות עם המספרים הקטנים - זה תמיד עוזר לי!
מה זה חזקה?
לפעמים צריך לכפול כמה עותקים של אותו מספר זה בזה, למשל 2×2×2×2 - זו מכפלה של 4 גורמים, וכולם שווים ל-2. במקום לכתוב את זה ארוך, כותבים 2⁴ - זה נקרא חזקה. המספר התחתון (2) נקרא הבסיס, והמספר הקטן למעלה (4) נקרא המעריך, והוא אומר כמה גורמים שווים לבסיס יש במכפלה. אז 2⁴ = 2×2×2×2 = 16.
חזקה של מספר שלילי - לב לסימן!
כשהבסיס הוא מספר שלילי, צריך לשים לב טוב לסימן של התוצאה. אם המעריך זוגי (2, 4, 6...), התוצאה תמיד חיובית - למשל (-3)² = (-3)×(-3) = 9. אבל אם המעריך אי-זוגי (1, 3, 5...), התוצאה נשארת שלילית - למשל (-3)³ = (-3)×(-3)×(-3) = -27. כדאי תמיד לספור: כמה פעמים 'מינוס' מופיע בכפל?
שורש ריבועי - הפעולה ההפוכה לריבוע
ריבוע של מספר הוא החזקה השנייה שלו, למשל 5² = 25. שורש ריבועי עושה בדיוק את הפעולה ההפוכה: שואלים 'איזה מספר, כשכופלים אותו בעצמו, נותן 25?'. התשובה היא 5, וכותבים את זה עם סימן השורש: √25 = 5. אפשר תמיד לבדוק תשובה של שורש ריבועי פשוט על ידי הכפלה שלה בעצמה, ולוודא שמתקבל המספר שמתחת לסימן השורש.
למה תמיד השורש החיובי?
שמנו לב שגם 5² וגם (-5)² שווים ל-25 - שני המספרים, 5 וגם -5, כשמעלים אותם בריבוע נותנים 25. אז איזה מהם הוא 'השורש הריבועי של 25'? כדי שלכל שאלה תהיה תשובה אחת וברורה, סוכם שסימן השורש √ מתאר תמיד רק את התוצאה החיובית. לכן √25 = 5 (ולא -5) - וזה בדיוק מה שנקרא 'השורש הריבועי החיובי'.
דוגמאות פתורות
חשבו את הערך של 3⁴.
- 3⁴ הוא מכפלה של 4 גורמים שווים, כולם שווים ל-3: 3×3×3×3.
- נכפיל בזוגות: 3×3 = 9.
- עכשיו 9×3 = 27.
- ולבסוף 27×3 = 81.
תשובה: 3⁴ = 81
חשבו את (-2)³ ואת (-2)⁴, והשוו בין התוצאות.
- (-2)³ = (-2)×(-2)×(-2). קודם (-2)×(-2) = 4 (מינוס כפול מינוס נותן פלוס).
- עכשיו 4×(-2) = -8. אז (-2)³ = -8 - התוצאה שלילית, כי המעריך 3 הוא אי-זוגי.
- (-2)⁴ = (-2)×(-2)×(-2)×(-2). מהשלב הקודם כבר יודעים ש-(-2)×(-2)×(-2) = -8.
- נכפיל עוד פעם אחת ב-(-2): (-8)×(-2) = 16. אז (-2)⁴ = 16 - התוצאה חיובית, כי המעריך 4 הוא זוגי.
תשובה: (-2)³ = -8, ואילו (-2)⁴ = 16
מצאו את √64, ובדקו את התשובה.
- צריך למצוא מספר חיובי שכשכופלים אותו בעצמו מקבלים 64.
- ננסה 8: 8×8 = 64. מצאנו!
- בודקים שהתשובה חיובית, כי השורש הריבועי הוא תמיד המספר החיובי - כפי שסיכמנו.
- בדיקה: 8×8 = 64, בדיוק המספר שמתחת לשורש. התשובה נכונה.
תשובה: √64 = 8
תרגול
1. חשבו: 5³תרגול
- 5³ פירושו מכפלה של 3 גורמים שווים, כולם שווים ל-5: 5×5×5.
- קודם 5×5 = 25.
- עכשיו 25×5 = 125.
תשובה: 5³ = 125
2. חשבו: (-3)²תרגול
- (-3)² פירושו (-3)×(-3).
- מינוס כפול מינוס נותן פלוס, ולכן (-3)×(-3) = 9.
תשובה: (-3)² = 9
3. חשבו: (-2)⁵תרגול
- (-2)⁵ פירושו (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) - חמישה גורמים.
- (-2)×(-2) = 4.
- 4×(-2) = -8.
- (-8)×(-2) = 16.
- 16×(-2) = -32.
- המעריך 5 הוא אי-זוגי, ולכן התוצאה נשארת שלילית - וזה מתאים למה שקיבלנו.
תשובה: (-2)⁵ = -32
4. חשבו: √144תרגול
- צריך למצוא מספר חיובי שכשכופלים אותו בעצמו מקבלים 144.
- ננסה 12: 12×12 = 144. מצאנו!
תשובה: √144 = 12
5. לגינה ריבועית יש צלע באורך 6 מטרים. מה שטח הגינה?שאלה בהקשר
- שטח של ריבוע הוא הצלע בריבוע, כלומר צלע².
- השטח = 6² = 6×6.
- 6×6 = 36.
תשובה: שטח הגינה הוא 36 מ״ר
6. שטיח בצורת ריבוע ששטחו 100 מ״ר. מה אורך הצלע של השטיח?שאלה בהקשר
- אם צלע² = שטח, אז הצלע היא השורש הריבועי של השטח.
- צריך למצוא מספר חיובי שכשכופלים אותו בעצמו מקבלים 100.
- 10×10 = 100, אז הצלע היא 10.
תשובה: אורך הצלע הוא 10 מטר
7. בכלי מעבדה יש חיידק אחד. כל שעה כל חיידק מתחלק לשניים, כך שכל שעה הכמות מוכפלת. כמה חיידקים יהיו בכלי אחרי 4 שעות? (רמז: רשמו את התשובה כחזקה של 2)שאלה בהקשר
- אחרי שעה 1: 1×2 = 2 חיידקים, שזה 2¹.
- אחרי שעה 2: 2×2 = 4 חיידקים, שזה 2².
- אחרי שעה 3: 4×2 = 8 חיידקים, שזה 2³.
- אחרי שעה 4: 8×2 = 16 חיידקים, שזה 2⁴ = 2×2×2×2 = 16.
תשובה: אחרי 4 שעות יהיו 2⁴ = 16 חיידקים
לזכירה
- חזקה היא כפל חוזר של אותו מספר: aⁿ הוא מכפלה של n גורמים שווים, כולם שווים ל-a.
- בבסיס שלילי: מעריך זוגי נותן תוצאה חיובית, ומעריך אי-זוגי נותן תוצאה שנשארת שלילית.
- שורש ריבועי הוא הפעולה ההפוכה לריבוע: √a שואל 'איזה מספר בריבוע נותן a?'
- סימן השורש √ מציין תמיד רק את התשובה החיובית - זה נקרא 'השורש הריבועי החיובי'.
- אפשר לבדוק כל תשובה של שורש ריבועי על ידי הכפלת התוצאה בעצמה, ולוודא שמתקבל המספר המקורי.