שטחים ב
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! כשאתם רואים צורה מורכבת ומסובכת, תתייחסו אליה כמו לפאזל: תמיד אפשר לפרק אותה לחלקים קטנים ופשוטים שכבר מכירים היטב - מלבן ומשולש - ולחבר (או להחסיר) את השטחים שלהם. ולפעמים, כדי לגלות אורך או גובה שלא כתוב לכם במפורש, מתחבא בתוך הצורה משולש ישר-זווית - ואז משפט פיתגורס בא ומגלה לכם בדיוק את המידה החסרה. קחו נשימה, פרקו לשלבים קטנים, ותראו שזה הרבה יותר פשוט משזה נראה במבט ראשון!
מה זאת צורה מורכבת?
צורה מורכבת היא צורה שבנויה מכמה צורות פשוטות שכבר הכרתם: מלבן, ריבוע, משולש או מקבילית. למשל, חדר בצורת האות L הוא בעצם שני מלבנים שמחוברים זה לזה. כדי למצוא את השטח של צורה מורכבת, פשוט מפרקים אותה לצורות הפשוטות האלה ומטפלים בכל אחת בנפרד.
שתי דרכים לחשב: חיבור או חיסור
לפעמים הכי נוח לחלק את הצורה לחלקים, לחשב את השטח של כל חלק, ולחבר את השטחים - זו שיטת החיבור. לפעמים נוח יותר לדמיין צורה גדולה ושלמה ולהחסיר ממנה חלק שחסר, למשל ריבוע גדול שנחתכה ממנו פינה קטנה. שתי השיטות נכונות - בוחרים את מה שקל יותר עבור הצורה הספציפית שלפניכם.
כשחסר אורך: משפט פיתגורס בא לעזרה
כדי לחשב שטח של מלבן או משולש, צריך להכיר את כל האורכים הדרושים לנוסחה, כמו גובה או ניצב. לפעמים אורך כזה לא נתון לנו במפורש - אבל מסתתר בתוך הצורה משולש ישר-זווית. אם מכירים שתי צלעות של אותו משולש ישר-זווית, אפשר למצוא את הצלע השלישית בעזרת משפט פיתגורס: a² + b² = c², כאשר a ו-b הם הניצבים - שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה, ו-c הוא היתר - הצלע שמול הזווית הישרה. לפעמים בתרגיל נמסר לכם מידע נוסף שעוזר לגלות איפה בדיוק מסתתר המשולש ישר-הזווית - למשל, שהגובה של משולש נופל בדיוק באמצע הבסיס שלו. מידע כזה, יחד עם משפט פיתגורס, מספיק כדי למצוא כל אורך חסר.
התהליך המלא, צעד אחר צעד
קודם מסתכלים על הצורה ומחליטים איך לפרק אותה - חיבור של חלקים או חיסור של חלק חסר. אחר כך בודקים אם כל האורכים הדרושים לנוסחאות כבר ידועים. אם חסר אורך שאפשר למצוא בעזרת משפט פיתגורס, מוצאים אותו קודם, לפני הכול. רק בסוף מחשבים כל שטח בנפרד ומחברים או מחסירים כדי לקבל את השטח הכולל.
שימו לב: יחידות וסדר הפתרון
לפני שמתחילים לחשב, ודאו שכל האורכים בצורה נתונים באותה יחידת מידה - רק ס"מ, או רק מ', בלי לערבב. התשובה הסופית לשטח היא תמיד ביחידות "בריבוע", כמו סמ"ר או מ"ר. וזכרו את הסדר הנכון: קודם משלימים אורכים חסרים (גם אם צריך לשם כך משפט פיתגורס), ורק אחר כך מחשבים ומחברים שטחים.
דוגמאות פתורות
לצורה של חזית בית יש חלק תחתון מלבני שרוחבו 6 מ' וגובהו 4 מ', ועליו גג משולש: הבסיס של המשולש הוא בדיוק רוחב המלבן, 6 מ', והגובה של המשולש (מהבסיס עד לפסגה) הוא 2.5 מ'. מהו השטח הכולל של החזית (המלבן והמשולש יחד)?
- נפרק את הצורה לשני חלקים פשוטים שכבר מכירים: מלבן למטה ומשולש למעלה.
- שטח המלבן = רוחב × גובה = 6 × 4 = 24 מ"ר.
- שטח המשולש = (בסיס × גובה) : 2 = (6 × 2.5) : 2 = 15 : 2 = 7.5 מ"ר.
- שטח כולל = שטח המלבן + שטח המשולש = 24 + 7.5 = 31.5 מ"ר.
תשובה: 31.5 מ"ר
מלונה לכלב נראית כמו מלבן עם גג משולש. המלבן: רוחב 4 מ', גובה 2 מ'. הגג הוא משולש שווה-שוקיים: הבסיס שלו הוא בדיוק רוחב המלונה, 4 מ', ושתי הצלעות המשופעות (השוקיים) שלו הן 2.5 מ' כל אחת. ידוע שגובה הגג (מהבסיס לפסגה) נופל בדיוק באמצע הבסיס, אך אורך הגובה עצמו אינו נתון. מהו השטח הכולל של חזית המלונה?
- נפרק לשני חלקים: מלבן למטה ומשולש (הגג) למעלה.
- כדי לחשב את שטח המשולש חייבים קודם למצוא את גובה הגג, וזה לא נתון לנו ישירות.
- נתון לנו שהגובה נופל בדיוק באמצע הבסיס, ולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי-זווית זהים.
- בכל אחד מהמשולשים הקטנים: היתר הוא הצלע המשופעת, 2.5 מ', וניצב אחד הוא חצי מהבסיס, כלומר 4 : 2 = 2 מ'. הניצב השני הוא בדיוק הגובה שמחפשים.
- לפי משפט פיתגורס: גובה² = 2.5² − 2² = 6.25 − 4 = 2.25, ולכן גובה = √2.25 = 1.5 מ'.
- שטח המשולש (הגג) = (בסיס × גובה) : 2 = (4 × 1.5) : 2 = 6 : 2 = 3 מ"ר.
- שטח המלבן = רוחב × גובה = 4 × 2 = 8 מ"ר.
- שטח כולל = 8 + 3 = 11 מ"ר.
תשובה: 11 מ"ר
תרגול
1. לצורה יש חלק תחתון מלבני שמידותיו 10 ס"מ על 6 ס"מ, ועליו משולש שהבסיס שלו 10 ס"מ (בדיוק כמו רוחב המלבן) והגובה שלו 4 ס"מ. חשבו את השטח הכולל של הצורה.תרגול
- נפרק את הצורה לשני חלקים: מלבן ומשולש.
- שטח המלבן = 10 × 6 = 60 סמ"ר.
- שטח המשולש = (10 × 4) : 2 = 40 : 2 = 20 סמ"ר.
- שטח כולל = 60 + 20 = 80 סמ"ר.
תשובה: 80 סמ"ר
2. ריבוע שאורך צלעו 12 ס"מ. מפינה אחת שלו נחתך מלבן קטן שמידותיו 4 ס"מ על 3 ס"מ. חשבו את השטח שנשאר מהריבוע.תרגול
- שטח הריבוע הגדול = 12 × 12 = 144 סמ"ר.
- שטח המלבן שנחתך = 4 × 3 = 12 סמ"ר.
- השטח שנשאר = שטח הריבוע פחות שטח החלק שנחתך = 144 − 12 = 132 סמ"ר.
תשובה: 132 סמ"ר
3. הצורה מורכבת ממלבן ומשולש. המלבן: רוחב 8 ס"מ, גובה 3 ס"מ. מעל המלבן יש משולש ישר-זווית. הזווית הישרה של המשולש נמצאת בדיוק בפינה השמאלית-העליונה של המלבן. ניצב אחד של המשולש הוא הרוחב של המלבן, 8 ס"מ. הניצב השני עולה מאותה פינה כלפי מעלה. היתר של המשולש (מקצה הניצב האנכי ועד לפינה הימנית-העליונה של המלבן) הוא 10 ס"מ. חשבו את השטח הכולל של הצורה (המלבן והמשולש יחד).תרגול
- נפרק את הצורה לשני חלקים: מלבן למטה ומשולש ישר-זווית למעלה.
- שטח המלבן = 8 × 3 = 24 סמ"ר.
- כדי לחשב את שטח המשולש צריך את שני הניצבים שלו. ניצב אחד ידוע - הוא רוחב המלבן, 8 ס"מ. הניצב השני לא נתון לנו ישירות, אבל נתון לנו היתר, 10 ס"מ.
- לפי משפט פיתגורס: ניצב² = יתר² − ניצב ידוע² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36, ולכן הניצב השני = √36 = 6 ס"מ.
- שטח המשולש = (ניצב × ניצב) : 2 = (8 × 6) : 2 = 48 : 2 = 24 סמ"ר.
- שטח כולל = שטח המלבן + שטח המשולש = 24 + 24 = 48 סמ"ר.
תשובה: 48 סמ"ר
4. לצורה יש חלק תחתון מלבני שרוחבו 6 ס"מ וגובהו 3 ס"מ, ועליו משולש שווה-שוקיים: הבסיס שלו 6 ס"מ (בדיוק כרוחב המלבן), והשוקיים (הצלעות המשופעות) שלו הן 5 ס"מ כל אחת. ידוע שהגובה של המשולש (מהקודקוד שבין שתי השוקיים אל הבסיס) נופל בדיוק באמצע הבסיס. חשבו את שטח הצורה כולה.תרגול
- כדי לחשב את שטח המשולש צריך את הגובה שלו, שלא נתון לנו ישירות.
- נתון לנו שהגובה נופל בדיוק באמצע הבסיס, ולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי-זווית זהים.
- בכל משולש קטן: היתר הוא השוק, 5 ס"מ, וניצב אחד הוא חצי הבסיס, 6 : 2 = 3 ס"מ.
- לפי משפט פיתגורס: גובה² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, ולכן גובה = √16 = 4 ס"מ.
- שטח המשולש = (6 × 4) : 2 = 24 : 2 = 12 סמ"ר.
- שטח המלבן = 6 × 3 = 18 סמ"ר.
- שטח כולל = 18 + 12 = 30 סמ"ר.
תשובה: 30 סמ"ר
5. מגרש חניה מלבני שמידותיו 20 מ' על 15 מ'. בפינה אחת של המגרש יש ערוגת פרחים בצורת מלבן שמידותיה 4 מ' על 3 מ', ואי אפשר לחנות עליה. כמה שטח פנוי לחניה נשאר במגרש?שאלה בהקשר
- שטח כל המגרש = 20 × 15 = 300 מ"ר.
- שטח ערוגת הפרחים = 4 × 3 = 12 מ"ר.
- השטח הפנוי לחניה = שטח המגרש פחות שטח הערוגה = 300 − 12 = 288 מ"ר.
תשובה: 288 מ"ר
6. אוהל בצורת בית: הדופן הקדמית של האוהל היא מלבן שרוחבו 3 מ' וגובהו 2 מ', ומעליה גג משולש שווה-שוקיים: הבסיס שלו 3 מ' (בדיוק כרוחב הדופן), והשוקיים (יריעות הבד המשופעות) שלו הן 2.5 מ' כל אחת. ידוע שהגובה של הגג נופל בדיוק באמצע הבסיס. כמה מ"ר בד צריך כדי לכסות את כל הדופן הקדמית (המלבן והמשולש יחד)?שאלה בהקשר
- נפרק לשני חלקים: המלבן (הקיר) והמשולש (הגג).
- כדי לחשב את שטח המשולש צריך את הגובה שלו, שלא נתון.
- נתון לנו שהגובה נופל בדיוק באמצע הבסיס, ולכן הוא מחלק את המשולש (הגג) לשני משולשים ישרי-זווית זהים: היתר בכל אחד הוא 2.5 מ', וניצב אחד הוא חצי מהבסיס, 3 : 2 = 1.5 מ'.
- לפי משפט פיתגורס: גובה² = 2.5² − 1.5² = 6.25 − 2.25 = 4, ולכן גובה = √4 = 2 מ'.
- שטח המשולש (הגג) = (3 × 2) : 2 = 6 : 2 = 3 מ"ר.
- שטח המלבן (הקיר) = 3 × 2 = 6 מ"ר.
- כמות הבד הדרושה = 6 + 3 = 9 מ"ר.
תשובה: 9 מ"ר
7. חדר בצורת האות L. אפשר לחלק אותו לשני מלבנים: מלבן אחד שמידותיו 5 מ' על 4 מ', ומלבן שני שמידותיו 3 מ' על 2 מ'. רוצים לרצף את כל הרצפה באריחים. כמה מ"ר של אריחים צריך לקנות?שאלה בהקשר
- שטח המלבן הראשון = 5 × 4 = 20 מ"ר.
- שטח המלבן השני = 3 × 2 = 6 מ"ר.
- שטח הרצפה כולה = 20 + 6 = 26 מ"ר, וזו כמות האריחים שצריך לקנות.
תשובה: 26 מ"ר
לזכירה
- צורה מורכבת בנויה מכמה צורות פשוטות (מלבן, ריבוע, משולש) שמחוברות זו לזו, או מצורה גדולה שחסר בה חלק.
- יש שתי דרכים למצוא את השטח: לפרק לחלקים ולחבר את השטחים שלהם, או לקחת צורה שלמה ולהחסיר ממנה חלק חסר.
- אם חסר אורך (גובה או ניצב) שדרוש לנוסחת השטח, ומכירים שתי צלעות של משולש ישר-זווית שמסתתר בצורה - משתמשים במשפט פיתגורס: a² + b² = c², כאשר a ו-b הם הניצבים ו-c הוא היתר.
- הסדר תמיד: קודם משלימים את כל האורכים החסרים (כולל בעזרת פיתגורס אם צריך), ורק אחר כך מחשבים שטחים ומחברים או מחסירים.
- כל האורכים צריכים להיות באותה יחידת מידה, והתשובה הסופית לשטח היא תמיד ביחידות בריבוע - סמ"ר או מ"ר.