חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! פונקציות טריגונומטריות עם פרמטרים הן כמו 'מתכון' לתיאור כל דבר שחוזר על עצמו - גלגל ענק, נדנדה, קפיץ מתנדנד, גל בים. תחשבו על d כ'קו האמצע' שסביבו הכול קורה, A כ'כמה רחוק מהאמצע אנחנו מגיעים' (למעלה ולמטה), ו-b כ'כמה מהר הסיבוב חוזר על עצמו'. הגזירה של sin ו-cos היא ממש קלה לזכור ברגע שיודעים שהיא 'סבבה במעגל' ביניהן: sin נגזר ל-cos, cos נגזר ל- מינוס sin, מינוס sin נגזר ל-מינוס cos, ומינוס cos חוזר בחזרה ל-sin - כל ארבע גזירות סוגרות מעגל שלם! זה בדיוק כמו התנודה עצמה שהפונקציות האלה מתארות.
פונקציות טריגונומטריות עם פרמטרים: משרעת, מחזור והזזה
פונקציה טריגונומטרית כללית מהצורה f(x)=d+A·sin(bx+c) (וכן עם cos במקום sin) נבנית מפונקציית הבסיס sin(x) (או cos(x)) על ידי ארבעה פרמטרים, שלכל אחד מהם תפקיד גיאומטרי ברור: A (המשרעת - amplitude) קובע את 'גובה' התנודה - ערכי הפונקציה נעים בין d-A ל-d+A; b קובע את המחזור (periodicity) - ככל ש-|b| גדול יותר הפונקציה 'מתנודדת' מהר יותר, והמחזור הוא T=2π/|b|; c גורם להזזה אופקית (שינוי מופע) של הגרף; ו-d גורם להזזה אנכית - הוא ה'קו האמצעי' שסביבו הפונקציה מתנדנדת. חשוב לזכור שפונקציות sin ו-cos בסיסיות הן מחזוריות עם מחזור 2π, אי-זוגית (sin(-x)=-sin(x)) וזוגית (cos(-x)=cos(x)) בהתאמה.
נגזרות של פונקציות טריגונומטריות, כולל הטנגנס
שני כללי הגזירה הבסיסיים: (sinx)'=cosx, וכן (cosx)'=-sinx (שימו לב לסימן המינוס!). כללים אלה תקפים כאשר x נמדד ברדיאנים (לא במעלות) - זו הסיבה המעשית לכך שבחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי עובדים כמעט תמיד עם רדיאנים. בעזרת כלל השרשרת אפשר לגזור גם ביטויים מורכבים יותר: אם f(x)=sin(bx+c), אז f'(x)=b·cos(bx+c); ואם f(x)=cos(bx+c), אז f'(x)=-b·sin(bx+c). כלל אצבע שימושי: הנגזרת 'שומרת' על סוג הפונקציה הטריגונומטרית (sin נגזר ל-cos, ו-cos נגזר ל-sin), אך הקוסינוס תמיד 'מכניס' סימן מינוס לתוצאה כאשר הוא הפונקציה שגוזרים ממנה, וכפל בנגזרת הפנימית (כלל השרשרת) מוסיף את המקדם b. את נגזרת הטנגנס מוצאים מנגזרת הסינוס: מכיוון ש-tanx=sinx/cosx (מוגדר כאשר cosx≠0), משתמשים בכלל המנה: (tanx)'=[(sinx)'·cosx-sinx·(cosx)']/cos²x=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=(cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x (בעזרת sin²x+cos²x=1).
גזירת סכום, מכפלה, מנה, והרכבה עם פונקציות טריגונומטריות
פונקציה טריגונומטרית יכולה להופיע כחלק מביטוי מורכב יותר, ואז משתמשים באותם כללי גזירה כלליים שנלמדו בכיתה י' - רק שאחד ה'שחקנים' הוא עכשיו פונקציה טריגונומטרית. כלל הסכום/הפרש: (f±g)'=f'±g'. כלל המכפלה: (f·g)'=f'·g+f·g' - למשל, אם f(x)=x²·sinx, אז f'(x)=2x·sinx+x²·cosx. כלל המנה: (f/g)'=(f'·g-f·g')/g² (כפי שהשתמשנו בו כרגע למציאת נגזרת הטנגנס). כלל השרשרת מאפשר לגזור הרכבה של פונקציית פולינום או שורש עם פונקציה טריגונומטרית - בשני כיוונים: אם הפונקציה הטריגונומטרית 'עוטפת' ביטוי אחר, כגון g(x)=sin(x²), אז g'(x)=cos(x²)·(x²)'=2x·cos(x²); ואם פונקציית שורש 'עוטפת' ביטוי טריגונומטרי, כגון h(x)=√(sinx), אז h'(x)=(sinx)'/(2√(sinx))=cosx/(2√(sinx)) (מוגדר רק היכן ש-sinx>0).
שימוש בנגזרת לחקירת קיצון ותחומי עלייה/ירידה
בדיוק כמו בכל פונקציה אחרת, כדי למצוא נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית פותרים f'(x)=0, ובודקים את סימן f' משני צדי כל פתרון (או משתמשים בנגזרת שנייה). ייחוד של פונקציות טריגונומטריות הוא שלמשוואה f'(x)=0 יש בדרך כלל אינסוף פתרונות (בגלל המחזוריות) - לכן כמעט תמיד נותנים תחום סופי (כגון [0,2π]) שבו צריך למצוא את כל הפתרונות הרלוונטיים.
אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות
בהתאמה לכללי הגזירה, מתקבלים כללי האינטגרציה הבאים: ∫sinx dx=-cosx+C, וכן ∫cosx dx=sinx+C. עבור ביטוי עם פרמטר פנימי: ∫sin(bx+c)dx=-(1/b)cos(bx+c)+C, וכן ∫cos(bx+c)dx=(1/b)sin(bx+c)+C. אינטגרלים אלה משמשים, בין היתר, לחישוב שטחים מתחת לגרפים טריגונומטריים, ולמעבר מפונקציית קצב שינוי (כגון מהירות) לפונקציית המצב עצמה (כגון מיקום).
יישומים: תנועה מחזורית
פונקציות טריגונומטריות מתאימות במיוחד לתיאור תופעות מחזוריות מהעולם האמיתי: היטל של תנועה מעגלית (כגון מיקומו הגובהי של כיסא על גלגל ענק המסתובב בקצב קבוע, או תנועת נדנדה), תנודות של קפיץ (מודל לתנועה הרמונית), וגלים. בבעיות כאלה בדרך כלל נתון תיאור מילולי של המצב (גובה מרבי/מזערי, זמן סיבוב שלם, גובה התחלתי), ומהם צריך לזהות את A (המשרעת), את d (ההזזה האנכית, לרוב 'גובה האמצע'), ואת b (מתוך משך המחזור T, לפי b=2π/T).
דוגמאות פתורות
נתונה הפונקציה f(x)=3sin(2x)+1. מצאו את המשרעת, המחזור, וההזזה האנכית, וקבעו את תחום הערכים (הטווח) של הפונקציה.
- משווים את הפונקציה לצורה הכללית d+A·sin(bx+c): כאן A=3 (המשרעת), b=2, c=0, ו-d=1 (ההזזה האנכית).
- המחזור מחושב לפי T=2π/|b|=2π/2=π.
- מכיוון ש-sin(2x) נע תמיד בין -1 ל-1, הביטוי 3sin(2x) נע בין -3 ל-3, ולכן f(x)=3sin(2x)+1 נע בין 1-3=-2 ל-1+3=4.
תשובה: משרעת 3, מחזור π, הזזה אנכית 1, ותחום ערכים [-2,4].
נתונה הפונקציה f(x)=sinx+cosx בקטע [0,2π]. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וסווגו אותן.
- גוזרים: f'(x)=cosx-sinx.
- פותרים f'(x)=0: cosx=sinx, כלומר tanx=1 (עבור cosx≠0), ובקטע [0,2π] זה מתקיים ב-x=π/4 וב-x=π/4+π=5π/4.
- גוזרים פעם שנייה כדי לסווג: f''(x)=-sinx-cosx.
- בודקים x=π/4: f''(π/4)=-sin(π/4)-cos(π/4)=-(√2/2)-(√2/2)=-√2<0, ולכן מקסימום מקומי. f(π/4)=sin(π/4)+cos(π/4)=√2/2+√2/2=√2.
- בודקים x=5π/4: f''(5π/4)=-sin(5π/4)-cos(5π/4)=-(-√2/2)-(-√2/2)=√2/2+√2/2=√2>0, ולכן מינימום מקומי. f(5π/4)=sin(5π/4)+cos(5π/4)=-√2/2-√2/2=-√2.
תשובה: מקסימום מקומי √2 בנקודה x=π/4, ומינימום מקומי -√2 בנקודה x=5π/4.
מצאו את השטח הכלוא בין הגרף של f(x)=sinx לבין ציר ה-x, בקטע [0,π].
- בקטע [0,π], sinx≥0 (הפונקציה אינה שלילית שם), ולכן השטח שווה ישירות לאינטגרל המסוים (בלי צורך בערך מוחלט).
- מוצאים פונקציה קדומה: ∫sinx dx=-cosx+C, כלומר F(x)=-cosx.
- מציבים לפי המשפט היסודי: F(π)-F(0)=-cos(π)-(-cos(0))=-(-1)-(-1)=1+1=2.
תשובה: השטח הכלוא הוא 2.
מצאו את נגזרות שלוש הפונקציות הבאות: א. f(x)=tan(x), וכן f'(π/4). ב. g(x)=x²·sinx (מכפלה). ג. h(x)=sin(x²) (הרכבה - פונקציה טריגונומטרית העוטפת ביטוי פולינומי).
- סעיף א: לפי כלל המנה על tanx=sinx/cosx, f'(x)=1/cos²x (כפי שראינו). מציבים x=π/4: cos(π/4)=√2/2, ולכן cos²(π/4)=(√2/2)^2=1/2, ומכאן f'(π/4)=1/(1/2)=2.
- סעיף ב: לפי כלל המכפלה על f=x² ו-g=sinx: g'(x)=(x²)'·sinx+x²·(sinx)'=2x·sinx+x²·cosx.
- סעיף ג: לפי כלל השרשרת, עם הפונקציה החיצונית sin(u) והפונקציה הפנימית u=x²: h'(x)=cos(u)·u'=cos(x²)·2x=2x·cos(x²).
תשובה: א. f'(x)=1/cos²x, ו-f'(π/4)=2. ב. הנגזרת של x²·sinx היא 2x·sinx+x²·cosx. ג. הנגזרת של sin(x²) היא 2x·cos(x²).
תרגול
1. נתונה הפונקציה f(x)=4cos(3x)-2. מצאו את המשרעת, המחזור, ההזזה האנכית, ותחום הערכים של הפונקציה.תרגול
- משווים לצורה הכללית: A=4 (משרעת), b=3, d=-2 (הזזה אנכית).
- המחזור: T=2π/|3|=2π/3.
- מכיוון ש-cos(3x) נע בין -1 ל-1, הביטוי 4cos(3x) נע בין -4 ל-4, ולכן f(x) נע בין -4-2=-6 ל-4-2=2.
תשובה: משרעת 4, מחזור 2π/3, הזזה אנכית -2, ותחום ערכים [-6,2].
2. גזרו את הפונקציה f(x)=5sinx-3cosx+7.תרגול
- גוזרים כל איבר בנפרד: הנגזרת של 5sinx היא 5cosx. הנגזרת של -3cosx היא -3·(-sinx)=3sinx. הנגזרת של הקבוע 7 היא 0.
תשובה: f'(x)=5cosx+3sinx.
3. גזרו את הפונקציה g(x)=cos(4x+1).תרגול
- משתמשים בכלל השרשרת עם הפונקציה החיצונית cos(u) והפונקציה הפנימית u=4x+1: (cos(u))'=-sin(u)·u'.
- כאן u'=(4x+1)'=4, ולכן g'(x)=-sin(4x+1)·4=-4sin(4x+1).
תשובה: g'(x)=-4sin(4x+1).
4. מצאו את האינטגרל הבלתי מסוים ∫(2sinx-3cosx)dx.תרגול
- מפרקים לשני אינטגרלים: ∫2sinx dx=2·(-cosx)=-2cosx. ∫3cosx dx=3·sinx=3sinx, ולכן ∫(-3cosx)dx=-3sinx.
- מסכמים ומוסיפים קבוע: -2cosx-3sinx+C.
תשובה: -2cosx-3sinx+C.
5. גזרו לפי כלל המכפלה את הפונקציה f(x)=x·cosx.תרגול
- משתמשים בכלל המכפלה (f·g)'=f'·g+f·g' עם f=x (f'=1) ו-g=cosx (g'=-sinx): f'(x)=1·cosx+x·(-sinx).
תשובה: f'(x)=cosx-x·sinx.
6. גזרו לפי כלל השרשרת את הפונקציה f(x)=√(sinx), עבור תחום שבו sinx>0.תרגול
- הפונקציה f היא הרכבה: הפונקציה החיצונית היא √(u), והפונקציה הפנימית היא u=sinx.
- נגזרת השורש (מכיתה י"א, פרק החשבון הדיפרנציאלי) היא [√(u)]'=u'/(2√u). כאן u'=(sinx)'=cosx.
- לכן f'(x)=cosx/(2√(sinx)).
תשובה: f'(x)=cosx/(2√(sinx)), מוגדרת רק היכן ש-sinx>0.
7. מצאו את כל נקודות הקיצון האפשריות (פתרו f'(x)=0) של הפונקציה f(x)=2sinx+sin2x בתחום [0,2π].שאלה בהקשר
- גוזרים: f'(x)=2cosx+2cos2x (הנגזרת של sin2x היא 2cos2x לפי כלל השרשרת).
- משתמשים בזהות cos2x=2cos²x-1 כדי לכתוב הכול לפי cosx: f'(x)=0 הופך ל-2cosx+2(2cos²x-1)=0, כלומר 4cos²x+2cosx-2=0, ואחרי חלוקה ב-2: 2cos²x+cosx-1=0.
- פותרים משוואה ריבועית במשתנה u=cosx: 2u²+u-1=0. לפי נוסחת השורשים (או פירוק לגורמים): (2u-1)(u+1)=0, ולכן u=1/2 או u=-1.
- עבור cosx=1/2, בתחום [0,2π]: x=π/3 או x=5π/3.
- עבור cosx=-1, בתחום [0,2π]: x=π.
תשובה: נקודות הקיצון האפשריות הן x=π/3, x=π, ו-x=5π/3.
8. גובהו של כיסא בגלגל ענק מעל הקרקע (במטרים), בזמן t (בדקות) ממועד תחילת המדידה, נתון על ידי h(t)=20+18sin((π/6)t-π/2). א. מהו הגובה המרבי ומהו הגובה המזערי של הכיסא? ב. מהו משך הזמן לסיבוב שלם אחד של הגלגל (המחזור)? ג. מהו גובה הכיסא ברגע t=0?שאלה בהקשר
- א. המשרעת A=18 וההזזה האנכית d=20, ולכן הגובה המרבי הוא d+A=20+18=38 מטר, והגובה המזערי הוא d-A=20-18=2 מטר.
- ב. כאן b=π/6, ולכן המחזור T=2π/(π/6)=2π·(6/π)=12 דקות.
- ג. מציבים t=0: h(0)=20+18sin(-π/2)=20+18·(-1)=20-18=2 מטר.
תשובה: א. גובה מרבי 38 מ', גובה מזערי 2 מ'. ב. המחזור הוא 12 דקות. ג. בזמן t=0 הכיסא בגובה 2 מ' (הנקודה הנמוכה ביותר).
9. מהירותה של מטוטלת (במטר לשנייה) בזמן t (בשניות) נתונה על ידי v(t)=0.5cos(t). מצאו את השינוי במיקום המטוטלת (ההעתק שלה) בין t=0 ל-t=π/2, באמצעות אינטגרל של פונקציית המהירות.שאלה בהקשר
- ההעתק שווה לאינטגרל המסוים של המהירות בקטע הזמן הנתון: העתק=∫[0,π/2] 0.5cos(t) dt.
- מוצאים פונקציה קדומה: ∫0.5cos(t)dt=0.5·sin(t).
- מציבים לפי המשפט היסודי: 0.5·sin(π/2)-0.5·sin(0)=0.5·1-0.5·0=0.5.
תשובה: ההעתק של המטוטלת בין t=0 ל-t=π/2 הוא 0.5 מטר.
לזכירה
- בפונקציה f(x)=d+A·sin(bx+c) (או עם cos): A היא המשרעת (טווח התנודה), d היא ההזזה האנכית (קו האמצע), b קובע את המחזור T=2π/|b|, ו-c גורם להזזה אופקית.
- כללי הגזירה (עבור x ברדיאנים!): (sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx, ו-(tanx)'=1/cos²x (מתקבל מכלל המנה על sinx/cosx). עם כלל השרשרת: [sin(bx+c)]'=b·cos(bx+c), ו-[cos(bx+c)]'=-b·sin(bx+c).
- פונקציה טריגונומטרית בתוך ביטוי מורכב נגזרת באותם כללים כלליים מכיתה י': כלל הסכום, כלל המכפלה (f·g)'=f'g+fg', כלל המנה (f/g)'=(f'g-fg')/g², וכלל השרשרת - גם כשההרכבה היא עם פונקציית פולינום או שורש (למשל sin(x²) או √(sinx)).
- כללי האינטגרציה: ∫sinx dx=-cosx+C, ∫cosx dx=sinx+C - ובביטוי עם פרמטר פנימי מחלקים גם ב-b.
- כדי למצוא נקודות קיצון פותרים f'(x)=0 בתוך תחום נתון (כי בגלל המחזוריות יש בדרך כלל אינסוף פתרונות), ומסווגים באמצעות בדיקת סימן או נגזרת שנייה.
- פונקציות טריגונומטריות עם פרמטרים מתאימות לתיאור תנועה מחזורית: היטל של תנועה מעגלית (למשל כיסא בגלגל ענק), תנודות קפיץ, וגלים - מזהים את A, d, ו-b מתוך תיאור המצב (גובה מרבי/מזערי, מחזור זמן).