לומדי

טריגונומטריה במישור

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! משפט הסינוסים הוא כמו "מתרגם" - הוא נותן לכם יחס אחד (2R) שמקשר בין כל צלע לסינוס הזווית שמולה, וברגע שיש לכם שני חלקים מתוך שלושה (זווית וצלע מולה, ועוד משהו), אפשר להשלים את הכל. ונוסחת השטח עם הסינוס פשוט חוסכת לכם למצוא גובה - שתי צלעות והזווית ביניהן, וזהו. תזכרו: הזווית חייבת להיות הזווית הכלואה בין שתי הצלעות שבחרתם, לא זווית אחרת!

משפט הסינוסים

במשולש ABC (עם צלעות a,b,c מול הזוויות A,B,C בהתאמה, ו-R רדיוס המעגל החוסם את המשולש) מתקיים: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R. המשפט מאפשר למצוא צלע או זווית חסרה כאשר יודעים שתי זוויות וצלע אחת, או שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן - וגם למצוא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש בלי לצייר אותו.

שטח משולש לפי סינוס הזווית שביניהן

שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית הכלואה ביניהן: S = ½·a·b·sin(C). זה שימושי מאוד כאשר לא נתון הגובה למשולש, אבל כן נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן.

שטח מקבילית

באופן דומה, שטח מקבילית שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית הכלואה ביניהן: S = a·b·sin(θ). משתמשים בנוסחאות האלה גם כדי לחשב שטחים של צורות מורכבות יותר, על ידי פירוק לצורות בסיסיות (משולשים, מקביליות) שכבר יודעים לחשב.

דוגמאות פתורות

במשולש ABC נתון: זווית A=40°, זווית B=75°, וצלע a=12. מצאו את זווית C, את צלע b, ואת רדיוס המעגל החוסם R.

  1. זווית C = 180-40-75 = 65°.
  2. לפי משפט הסינוסים: 2R = a/sin(A) = 12/sin(40°) ≈ 12/0.6428 ≈ 18.67, ולכן R ≈ 9.3.
  3. b = 2R·sin(B) ≈ 18.67 × sin(75°) ≈ 18.67 × 0.9659 ≈ 18.0.

תשובה: זווית C = 65°, b ≈ 18.0, R ≈ 9.3.

במשולש שני צלעותיו a=8, b=5, והזווית הכלואה ביניהן C=60°. מצאו את שטח המשולש.

  1. S = ½·a·b·sin(C) = ½·8·5·sin(60°) = 20·(√3/2) = 10√3.

תשובה: שטח המשולש הוא 10√3 (כ-17.3 יחידות שטח).

במקבילית שני צלעות סמוכות באורך 6 ו-9, והזווית הכלואה ביניהן 150°. מצאו את שטח המקבילית.

  1. sin(150°)=sin(180°-150°)=sin(30°)=0.5.
  2. S = 6·9·0.5 = 27.

תשובה: שטח המקבילית הוא 27.

תרגול

1. במשולש ABC נתון: זווית A=50°, זווית B=60°, וצלע a=10. מצאו את צלע b.תרגול
  1. b = a·sin(B)/sin(A) = 10×sin(60°)/sin(50°) ≈ 10×0.866/0.766 ≈ 11.3.

תשובה: b ≈ 11.3.

2. במשולש שתי צלעותיו 10 ו-7, והזווית הכלואה ביניהן 45°. מצאו את שטח המשולש.תרגול
  1. S = ½·10·7·sin(45°) = 35·(√2/2) = 17.5√2 ≈ 24.7.

תשובה: S = 17.5√2 (כ-24.7 יחידות שטח).

3. במקבילית שני צלעות סמוכות באורך 4 ו-10, והזווית הכלואה ביניהן 30°. מצאו את שטח המקבילית.תרגול
  1. S = 4·10·sin(30°) = 40·0.5 = 20.

תשובה: S = 20.

4. במשולש ABC, צלע a=9 מול זווית A=30°. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.שאלה בהקשר
  1. 2R = a/sin(A) = 9/sin(30°) = 9/0.5 = 18, ולכן R=9.

תשובה: R = 9.

5. במרובע ABCD, האלכסון BD מחלק אותו לשני משולשים: ABD ו-CBD. נתון AB=6, BD=8, זווית ABD=40°; וכן BC=5, זווית DBC=70°. מצאו את שטח המרובע כולו.שאלה בהקשר
  1. שטח משולש ABD = ½·6·8·sin(40°) = 24×0.6428 ≈ 15.43.
  2. שטח משולש DBC = ½·8·5·sin(70°) = 20×0.9397 ≈ 18.79.
  3. שטח המרובע = סכום שני המשולשים ≈ 15.43+18.79 ≈ 34.2.

תשובה: שטח המרובע כ-34.2 יחידות שטח.

6. שתי נקודות תצפית A ו-B מרוחקות 500 מ' זו מזו. מנקודה A נמדדת זווית של 65° אל מגדל T, ומנקודה B נמדדת זווית של 80° אל אותו מגדל (הזוויות נמדדות כך שנוצר משולש ABT). מצאו את המרחק AT.שאלה בהקשר
  1. זווית T = 180-65-80 = 35°.
  2. לפי משפט הסינוסים: AT/sin(B) = AB/sin(T), ולכן AT = AB·sin(80°)/sin(35°) = 500×0.9848/0.5736 ≈ 858.6.

תשובה: AT ≈ 858.6 מ'.

לזכירה

  • משפט הסינוסים: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, כאשר R רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
  • שטח משולש: S = ½·(שתי צלעות)·sin(הזווית הכלואה ביניהן).
  • שטח מקבילית: S = (שתי צלעות סמוכות)·sin(הזווית הכלואה ביניהן).
  • שתי הנוסחאות דורשות שהזווית תהיה הזווית הכלואה בדיוק בין שתי הצלעות שבוחרים.
  • משפט הסינוסים ונוסחאות השטח משולבים יחד עם גאומטריה אוקלידית וגאומטריה אנליטית לפתרון בעיות מעשיות.
הקודםגאומטריה אוקלידיתהבאגאומטריה אנליטית