אינדוקציה מתמטית ושימושיה

1. בסיס (n=1): אגף שמאל=2, אגף ימין=1·(1+1)=2. שווים.
2. הנחת האינדוקציה: מניחים 2+4+...+2k=k(k+1).
3. צעד: 2+4+...+2k+2(k+1) = k(k+1)+2(k+1) = (k+1)·(k+2) - לפי הוצאת גורם משותף (k+1) - וזה בדיוק אגף ימין עבור n=k+1.
4. לכן, לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

תשובה: הטענה 2+4+...+2n=n(n+1) הוכחה נכונה לכל n טבעי.

1. בסיס (n=1): אגף שמאל=1, אגף ימין=1^2=1. שווים.
2. הנחת האינדוקציה: מניחים 1+3+...+(2k-1)=k^2.
3. צעד: 1+3+...+(2k-1)+(2(k+1)-1) = k^2+(2k+1) = (k+1)^2 - לפי נוסחת הריבוע של דו-איבר - וזה בדיוק אגף ימין עבור n=k+1.
4. לכן, לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

תשובה: הטענה 1+3+...+(2n-1)=n^2 הוכחה נכונה לכל n טבעי.

1. בסיס (n=1): 1^3-1=0, ו-0 מתחלק ב-6 (0=6·0).
2. הנחת האינדוקציה: מניחים ש-k^3-k=6m עבור מספר שלם m כלשהו.
3. צעד: (k+1)^3-(k+1) = k^3+3k^2+3k+1-k-1 = (k^3-k)+3k^2+3k = 6m+3k(k+1).
4. המכפלה k(k+1) היא מכפלה של שני מספרים שלמים עוקבים, ולכן היא תמיד זוגית - כלומר k(k+1)=2t עבור מספר שלם t כלשהו. לכן 3k(k+1)=6t.
5. מקבלים: (k+1)^3-(k+1) = 6m+6t = 6(m+t), ביטוי שמתחלק ב-6.
6. לכן, לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

תשובה: הטענה 'n^3-n מתחלק ב-6' הוכחה נכונה לכל n טבעי.

1. בסיס (n=1): אגף שמאל=1. אגף ימין=(q^1-1)/(q-1)=(q-1)/(q-1)=1 (מותר לצמצם כי q≠1). שווים.
2. הנחת האינדוקציה: מניחים 1+q+...+q^(k-1)=(q^k-1)/(q-1).
3. צעד: 1+q+...+q^(k-1)+q^k = (q^k-1)/(q-1)+q^k = [(q^k-1)+q^k·(q-1)]/(q-1) = [q^k-1+q^(k+1)-q^k]/(q-1) = (q^(k+1)-1)/(q-1) - וזה בדיוק אגף ימין עבור n=k+1.
4. לכן, לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי ולכל q≠1.

תשובה: נוסחת סכום הסדרה ההנדסית הוכחה נכונה לכל n טבעי (עבור q≠1).

1. בסיס (n=4): 2^4=16, ו-4^2=16. מתקיים 16≥16 - הטענה נכונה עבור n=4 (זהו הבסיס כאן, ולא n=1, כי הטענה אינה נכונה עבור n=3: 2^3=8<9=3^2. לשם השוואה, ב-n=1,2 הטענה כן מתקיימת - 2^1=2≥1 ו-2^2=4≥4 - אבל n=3 שובר את הרצף, ולכן צריך להתחיל את האינדוקציה רק מ-n=4, מהנקודה שממנה הטענה נכונה ברציפות).
2. הנחת האינדוקציה: מניחים שעבור k≥4 מתקיים 2^k≥k^2.
3. צעד: 2^(k+1)=2·2^k, ולפי הנחת האינדוקציה 2·2^k≥2k^2.
4. צריך להראות ש-2k^2≥(k+1)^2=k^2+2k+1, כלומר ש-k^2-2k-1≥0. עבור k≥4: k^2-2k-1 ≥ 16-8-1=7>0, וככל ש-k גדל יותר הביטוי רק גדל - כך שהאי-שוויון מתקיים לכל k≥4.
5. מכאן: 2^(k+1)≥2k^2≥(k+1)^2, כנדרש.
6. לכן, לפי עקרון האינדוקציה (עם בסיס ב-n=4 במקום n=1), הטענה נכונה לכל n≥4.

תשובה: הטענה '2^n≥n^2 לכל n≥4' הוכחה נכונה, באינדוקציה עם בסיס ב-n=4.

1. בסיס (n=1): 4^1+15·1-1=4+15-1=18, ו-18 מתחלק ב-9 (18=9·2).
2. הנחת האינדוקציה: מניחים ש-4^k+15k-1=9m עבור מספר שלם m כלשהו.
3. צעד: 4^(k+1)+15(k+1)-1 = 4·4^k+15k+15-1 = 4·4^k+15k+14.
4. כותבים את זה בעזרת הנחת האינדוקציה: 4·(4^k+15k-1) = 4·4^k+60k-4. ההפרש בין הביטוי הרצוי לביטוי הזה הוא: (4·4^k+15k+14)-(4·4^k+60k-4) = -45k+18 = -9(5k-2).
5. לכן 4^(k+1)+15(k+1)-1 = 4·(4^k+15k-1) - 9(5k-2) = 4·9m - 9(5k-2) = 9·(4m-5k+2), ביטוי שמתחלק ב-9.
6. לכן, לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

תשובה: הטענה '4^n+15n-1 מתחלק ב-9' הוכחה נכונה לכל n טבעי.

1. בסיס (n=1): (x^1)'=(x)'=1, ואילו n·x^(n-1)=1·x^0=1·1=1 (לפי המוסכמה x^0=1). שני האגפים שווים.
2. הנחת האינדוקציה: מניחים ש-(x^k)'=k·x^(k-1) עבור k טבעי כלשהו.
3. צעד: כותבים x^(k+1)=x^k·x, ומשתמשים בכלל המכפלה לגזירה על שני הגורמים x^k ו-x: (x^k·x)' = (x^k)'·x + x^k·(x)'.
4. מציבים את הנחת האינדוקציה עבור (x^k)', ואת (x)'=1: = k·x^(k-1)·x + x^k·1 = k·x^k + x^k.
5. מוציאים גורם משותף x^k: k·x^k+x^k = (k+1)·x^k = (k+1)·x^((k+1)-1) - וזה בדיוק הנוסחה הרצויה עבור n=k+1.
6. לכן, לפי עקרון האינדוקציה, כלל הגזירה (x^n)'=n·x^(n-1) נכון לכל n טבעי.

תשובה: כלל הגזירה (x^n)'=n·x^(n-1) הוכח נכון לכל n טבעי, באינדוקציה מתמטית תוך שימוש בכלל המכפלה.