התפלגות נורמלית
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! ציון תקן הוא בעצם "מתרגם אוניברסלי" - הוא הופך כל נתון לשפה משותפת (כמה סטיות תקן מהממוצע), כך שאפשר להשוות תפוחים לתפוזים: ציון 85 במבחן אחד וציון 70 במבחן אחר - מי הצליח יותר ביחס לחבריו? תמיד תתחילו מחישוב ה-Z, ורק אז תפתחו את הטבלה. וזכרו: הטבלה נותנת "פחות מ-" (P(Z<z)) - אם אתם צריכים "יותר מ-" או "בין שני ערכים", תמיד תעברו דרך הנוסחאות שמחברות ביניהם.
ציון תקן - מיקום יחסי בכל התפלגות
ציון תקן (Z) מודד את מיקומו של נתון בודד ביחס לכל הקבוצה, במונחים של כמה סטיות תקן הוא מרוחק מהממוצע: Z = (x-μ)/σ, כאשר μ הממוצע ו-σ סטיית התקן. ציון תקן חיובי אומר שהנתון מעל הממוצע, שלילי - מתחתיו. ציון תקן הוא גודל ללא ממד (אין לו יחידות), וניתן לחשב אותו בכל קבוצת נתונים - לא רק בהתפלגות נורמלית. תכונות: ממוצע ציוני התקן תמיד 0, וסטיית התקן של ציוני התקן תמיד 1.
עקומת ההתפלגות הנורמלית
ההתפלגות הנורמלית היא צורת ההתפלגות הנפוצה ביותר של משתנה מקרי, ומופיעה בתחומים רבים (פיזיקה, ביולוגיה, כלכלה, רפואה). העקומה שלה בצורת "פעמון": סימטרית ביחס לממוצע, עם ריכוז מרבי של הנתונים במרכז ודעיכה מהירה בקצוות. בהתפלגות נורמלית, הממוצע, החציון והשכיח חופפים כולם לאותו ערך. השטח הכולל מתחת לעקומה שווה ל-1 (או 100%), והשטח החלקי מתחת לעקומה, בין שני ערכים, מייצג את ההסתברות (או האחוז) של קבוצה עם התכונה המתאימה.
ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (0,1)
כדי להשוות בין קבוצות נתונים שונות (עם ממוצעים וסטיות תקן שונים), עוברים לציוני תקן: בהתפלגות נורמלית, ציוני התקן עצמם מתפלגים נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1 - זו ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. הטבלה המצטברת הסטנדרטית נותנת את P(Z<z) - ההסתברות שציון תקן אקראי קטן מ-z נתון - לכל ערך z.
שימוש בטבלה: מציאת הסתברויות
הטבלה משמשת: (א) למציאת הסתברות (או אחוז) של קבוצה בעלת תכונה משותפת, כשנתון ציון תקן; (ב) למציאת ציון התקן המתאים להסתברות נתונה, ולהפך; (ג) למציאת ממוצע ו/או סטיית תקן, כשנתונים ציוני תקן ו/או ההסתברויות המתאימות להם. נוסחאות שילוב חשובות: P(z₁<Z<z₂) = P(Z<z₂) - P(Z<z₁); P(Z>zₓ) = 1 - P(Z<zₓ); P(Z>zₓ) = P(Z<-zₓ) (מהסימטריה של העקומה).
שילוב עם הסתברות וסטטיסטיקה
בשאלות מתקדמות יותר, משלבים את ההתפלגות הנורמלית עם נושאים אחרים בהסתברות - כמו הסתברות של איחוד וחיתוך מאורעות, או השוואה בין שני מבחנים/אוכלוסיות שונות, תוך שימוש בטבלה ובנוסחאות השילוב יחד.
דוגמאות פתורות
בכיתה, הממוצע במבחן הוא 75 וסטיית התקן 8. דנה קיבלה 91. מצאו את ציון התקן שלה, ופרשו אותו.
- Z = (91-75)/8 = 16/8 = 2.
תשובה: ציון התקן של דנה הוא 2 - כלומר היא הצליחה 2 סטיות תקן מעל הממוצע.
בהמשך לדוגמה הקודמת (ממוצע 75, סטיית תקן 8, ציונים מתפלגים נורמלית): (א) איזה אחוז מהתלמידים קיבלו פחות מ-91? (ב) איזה אחוז קיבלו יותר מ-91? (ג) איזה אחוז קיבלו בין 67 ל-91?
- א. Z=2 (מהדוגמה הקודמת). מהטבלה: P(Z<2)=0.9772, כלומר 97.72% מהתלמידים קיבלו פחות מ-91.
- ב. P(Z>2) = 1-P(Z<2) = 1-0.9772 = 0.0228, כלומר 2.28%.
- ג. ציון 67: Z=(67-75)/8=-8/8=-1. P(Z<-1)=P(Z>1)=1-P(Z<1)=1-0.8413=0.1587.
- P(-1<Z<2) = P(Z<2)-P(Z<-1) = 0.9772-0.1587 = 0.8185.
תשובה: א. 97.72%. ב. 2.28%. ג. 81.85% מהתלמידים קיבלו ציון בין 67 ל-91.
ידוע שבאוכלוסייה מסוימת המתפלגת נורמלית עם ממוצע μ וסטיית תקן σ=10, בדיוק 84.13% מהערכים קטנים מ-65. מצאו את μ.
- מהטבלה, P(Z<1)=0.8413 - כלומר ציון התקן המתאים הוא z=1.
- (65-μ)/10 = 1, ולכן 65-μ=10, כלומר μ=55.
תשובה: μ = 55.
תרגול
1. נתון x=82, ממוצע μ=70, סטיית תקן σ=6. מצאו את ציון התקן.תרגול
- Z = (82-70)/6 = 12/6 = 2.
תשובה: Z = 2.
2. לפי הטבלה, מהו P(Z<1)?תרגול
- ערך ישיר מהטבלה הסטנדרטית.
תשובה: P(Z<1) = 0.8413.
3. מהו P(Z>1)?תרגול
- P(Z>1) = 1-P(Z<1) = 1-0.8413 = 0.1587.
תשובה: 0.1587.
4. אורך חיים של נורות מסוג מסוים מתפלג נורמלית עם ממוצע 1200 שעות וסטיית תקן 100 שעות. (א) מצאו את ציון התקן של נורה שמחזיקה 1350 שעות. (ב) איזה אחוז מהנורות מחזיקות יותר מ-1350 שעות?שאלה בהקשר
- א. Z = (1350-1200)/100 = 150/100 = 1.5.
- ב. P(Z<1.5)=0.9332 (מהטבלה). P(Z>1.5) = 1-0.9332 = 0.0668, כלומר 6.68%.
תשובה: א. Z=1.5. ב. 6.68% מהנורות מחזיקות יותר מ-1350 שעות.
5. בשתי מועדי בחינה, הציונים מתפלגים נורמלית: מועד א - ממוצע 68, סטיית תקן 12. מועד ב - ממוצע 75, סטיית תקן 8. רון ניגש לשני המועדים וקיבל 80 בשניהם. באיזה מועד הוא הצליח יחסית יותר?שאלה בהקשר
- Zא = (80-68)/12 = 12/12 = 1.
- Zב = (80-75)/8 = 5/8 = 0.625.
- ציון התקן במועד א (1) גבוה מציון התקן במועד ב (0.625).
תשובה: רון הצליח יחסית יותר במועד א, כי ציון התקן שלו שם גבוה יותר, למרות שהציון הגולמי זהה.
6. ציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 60 וסטיית תקן 10. מצאו את אחוז התלמידים שציונם בין 50 ל-70.שאלה בהקשר
- Z1 = (50-60)/10 = -1. Z2 = (70-60)/10 = 1.
- P(Z<-1) = P(Z>1) = 1-P(Z<1) = 1-0.8413 = 0.1587.
- P(-1<Z<1) = P(Z<1)-P(Z<-1) = 0.8413-0.1587 = 0.6826.
תשובה: 68.26% מהתלמידים קיבלו ציון בין 50 ל-70.
7. באוכלוסייה המתפלגת נורמלית עם ממוצע μ=200, ידוע כי 97.72% מהערכים קטנים מ-240. מצאו את סטיית התקן σ.שאלה בהקשר
- P(Z<2)=0.9772, ולכן ציון התקן המתאים הוא z=2.
- (240-200)/σ = 2, כלומר 40/σ=2, ולכן σ=20.
תשובה: σ = 20.
לזכירה
- ציון תקן: Z=(x-μ)/σ - מספר סטיות התקן שהנתון מרוחק מהממוצע. ממוצע ציוני התקן תמיד 0, סטיית התקן שלהם תמיד 1.
- עקומת ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, עם ריכוז מרבי במרכז ודעיכה בקצוות; ממוצע=חציון=שכיח.
- ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (0,1) מאפשרת שימוש בטבלה מצטברת אחת לכל בעיה, אחרי מעבר לציוני תקן.
- הטבלה נותנת P(Z<z). לחישוב P(Z>z) משתמשים בהשלמה ל-1; לחישוב P(z₁<Z<z₂) מחסרים; ומהסימטריה P(Z>z)=P(Z<-z).
- אפשר להשתמש בטבלה ובנוסחאות "אחורה" - למצוא ממוצע או סטיית תקן לא ידועים מתוך הסתברות נתונה.