לומדי

חשבון דיפרנציאלי (כולל השתנות של קצב השינוי של הפונקציה ופונקציות עם שורשים ריבועיים)

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! בכיתה י' למדתם שהנגזרת אומרת לכם 'עולה או יורד'. עכשיו אני רוצה שתחשבו על שאלה מעניינת יותר: כשאתם נוסעים במכונית ולוחצים על הגז, המהירות עולה - אבל היא עולה 'ביתר מרץ' בהתחלה או בסוף? זו בדיוק השאלה שהנגזרת השנייה עונה עליה - היא בודקת אם קצב השינוי עצמו הולך ומתגבר או נחלש. ונקודת הפיתול? תחשבו עליה כרגע שבו הגרף 'מחליף כיוון עיקול' - כמו כביש שמתעקל שמאלה ואז פתאום מתחיל להתעקל ימינה. לגבי פונקציות עם שורש - הכלל הכי חשוב לזכור הוא ש-√(מספר) תמיד לא-שלילי, ולכן חייבים לבדוק בקפידה איפה בכלל מותר להציב.

חזרה קצרה: הנגזרת כקצב שינוי

מכיתה י' אתם כבר יודעים שהנגזרת f'(x) של פונקציה מתארת את קצב השינוי הרגעי שלה בנקודה x - למעשה, את שיפוע המשיק לגרף באותה נקודה. כאשר f'(x)>0 בקטע מסוים, הפונקציה עולה שם; כאשר f'(x)<0, הפונקציה יורדת; ובנקודות שבהן f'(x)=0 (נקודות חשודות לקיצון) הפונקציה עשויה להגיע למקסימום או מינימום מקומי. בכיתה י"א מעמיקים את הרעיון הזה צעד אחד קדימה: לא רק לשאול 'האם הפונקציה עולה או יורדת', אלא גם 'האם קצב העלייה/הירידה שלה עצמו הולך וגדל, או הולך וקטן'.

הנגזרת השנייה - קצב השינוי של קצב השינוי

הנגזרת השנייה, המסומנת f''(x), היא פשוט הנגזרת של הנגזרת הראשונה - כלומר f''(x)=(f'(x))'. אם f'(x) מתארת את קצב השינוי של f, אז f''(x) מתארת את קצב השינוי של קצב השינוי עצמו. לדוגמה, אם v(t) היא מהירותה של מכונית בזמן t, אז v'(t) היא התאוצה שלה - קצב השינוי של המהירות. כאשר f''(x)>0 בקטע, קצב השינוי של f הולך וגדל שם (למשל: המהירות עולה מהר יותר ויותר); כאשר f''(x)<0, קצב השינוי הולך וקטן (המהירות עולה, אבל לאט יותר ויותר, או אפילו מתחילה לרדת).

קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה

פונקציה נקראת קעורה כלפי מעלה (כמו קערה, ⌣) בקטע מסוים אם בכל אותו קטע הגרף שלה נמצא מעל כל אחד מקווי המשיק שלו (המשיקים 'תומכים' בגרף מלמטה), ובמקביל הגרף נמצא מתחת לכל מיתר (קטע ישר המחבר שתי נקודות כלשהן על הגרף באותו קטע). פונקציה נקראת קעורה כלפי מטה (כמו כיפה, ⌢) אם ההפך מתקיים: הגרף נמצא מתחת לכל קווי המשיק שלו, ומעל כל מיתר. יש קשר ישיר וחזק בין קעירות לנגזרת השנייה: בקטע שבו f''(x)>0 הפונקציה קעורה כלפי מעלה שם, ובקטע שבו f''(x)<0 הפונקציה קעורה כלפי מטה שם - זהו בדיוק אותו מידע שכבר פגשתם במבחן הנגזרת השנייה, רק בשפה גיאומטרית.

מבחן הנגזרת השנייה לקיצון, ונקודות פיתול

בנקודה חשודה לקיצון x0 (כלומר f'(x0)=0), אפשר להכריע אם מדובר במינימום או מקסימום מקומי גם באמצעות הנגזרת השנייה: אם f''(x0)>0 - לפונקציה יש שם מינימום מקומי (הפונקציה קעורה כלפי מעלה סביב הנקודה); אם f''(x0)<0 - לפונקציה יש שם מקסימום מקומי (קעורה כלפי מטה שם). זהו כלי נוסף (מבחן הנגזרת השנייה), לצד הבדיקה המוכרת של החלפת הסימן של f' משני צדי הנקודה. נקודת פיתול היא נקודה על גרף הפונקציה שבה קו המשיק 'חוצה' את הגרף - כלומר, מצד אחד של הנקודה הגרף נמצא מעל קו המשיק (קעירות כלפי מעלה), ומהצד השני הגרף נמצא מתחתיו (קעירות כלפי מטה). כלומר, נקודת פיתול היא בדיוק הנקודה שבה הפונקציה עוברת מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה (או להפך) - וזה קורה בדיוק כאשר f''(x) משנה סימן.

פונקציות עם שורש ריבועי - תחום הגדרה ותכונות

פונקציה מהצורה g(x)=√(f(x)) מוגדרת רק במקומות שבהם הביטוי שתחת השורש אינו שלילי, כלומר תחום ההגדרה שלה נקבע מהתנאי f(x)≥0. חשוב מאוד לשים לב: √(x^2)=|x| ולא x - למשל √((-3)^2)=√9=3, ולא -3. לכן הפונקציות f(x)=√(x^2) ו-g(x)=x אינן זהות (הן נבדלות עבור x שלילי - f(x)=|x|≥0 תמיד, בעוד g(x)=x יכולה להיות שלילית). דגש נוסף: כאשר פותרים משוואה על ידי העלאת שני אגפיה בריבוע, עלולות להתקבל פתרונות זרים שאינם פותרים את המשוואה המקורית - חובה להציב כל פתרון שמתקבל במשוואה המקורית ולוודא שהוא אכן מקיים אותה.

גזירה וחקירה של פונקציות עם שורש ריבועי

כדי לגזור פונקציה מהצורה g(x)=√(f(x)), משתמשים בכלל השרשרת: g'(x)=f'(x)/(2·√(f(x))). שימו לב שהנגזרת מוגדרת רק היכן ש-f(x)>0 ממש (ולא רק ≥0), כי אי אפשר לחלק באפס. בעזרת נגזרת זו אפשר לחקור תחומי עלייה/ירידה ונקודות קיצון של פונקציית השורש בדיוק כמו בכל פונקציה אחרת - שמים לב שסימן g'(x) נקבע כאן על ידי סימן f'(x) בלבד (כי המכנה 2√(f(x)) תמיד חיובי בתחום ההגדרה הפתוח), כך שלרוב אפשר לדעת הרבה על ההתנהגות של g ישירות מהתנהגות f.

דוגמאות פתורות

נתונה הפונקציה f(x)=x^3-3x^2+2. מצאו את f'(x) ואת f''(x), מצאו את נקודות הקיצון וסווגו אותן באמצעות מבחן הנגזרת השנייה, ומצאו את נקודת הפיתול של הפונקציה.

  1. גוזרים פעם ראשונה: f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). נקודות חשודות לקיצון: f'(x)=0 כאשר x=0 או x=2.
  2. גוזרים פעם שנייה: f''(x)=6x-6.
  3. בודקים את x=0: f''(0)=6·0-6=-6<0, ולכן לפי מבחן הנגזרת השנייה יש בנקודה זו מקסימום מקומי. f(0)=0-0+2=2, כך שהמקסימום המקומי הוא בנקודה (0,2).
  4. בודקים את x=2: f''(2)=6·2-6=6>0, ולכן יש שם מינימום מקומי. f(2)=8-12+2=-2, כך שהמינימום המקומי הוא בנקודה (2,-2).
  5. למציאת נקודת הפיתול פותרים f''(x)=0: 6x-6=0, ולכן x=1. בודקים שהנגזרת השנייה אכן מחליפה סימן סביב x=1: f''(0)=-6<0 (שלילית משמאל), f''(2)=6>0 (חיובית מימין) - יש החלפת סימן, ולכן x=1 היא אכן נקודת פיתול.
  6. מחשבים את ערך הפונקציה שם: f(1)=1-3+2=0.
  7. מכיוון ש-f''(x)<0 בקטע (-∞,1) ו-f''(x)>0 בקטע (1,∞), הפונקציה קעורה כלפי מטה בקטע הראשון וקעורה כלפי מעלה בקטע השני - בדיוק כפי שמצופה משני צדי נקודת פיתול.

תשובה: מקסימום מקומי בנקודה (0,2), מינימום מקומי בנקודה (2,-2), ונקודת פיתול בנקודה (1,0), עם מעבר מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה.

נתונה הפונקציה f(x)=√(9-x^2). מצאו את תחום ההגדרה שלה, ותארו את התנהגותה (ערך מרבי, ערכים בקצות התחום).

  1. תחום ההגדרה נקבע מהתנאי שהביטוי תחת השורש אינו שלילי: 9-x^2≥0, כלומר x^2≤9, ולכן -3≤x≤3.
  2. שמים לב שאם נעלה בריבוע את שני אגפי הפונקציה y=√(9-x^2) (עבור y≥0), מתקבל y^2=9-x^2, כלומר x^2+y^2=9 - זוהי משוואת מעגל שרדיוסו 3 סביב הראשית. מכיוון ש-y=f(x)≥0 תמיד (כי זהו ערך של שורש ריבועי), הגרף של f הוא רק החצי העליון של אותו מעגל.
  3. הערך המרבי מתקבל במרכז התחום, ב-x=0: f(0)=√9=3.
  4. בקצות התחום, x=-3 ו-x=3: f(-3)=√(9-9)=√0=0, וכן f(3)=√0=0.

תשובה: תחום ההגדרה הוא [-3,3]. הגרף הוא חצי המעגל העליון שרדיוסו 3, עם ערך מרבי 3 (ב-x=0) וערכים 0 בשני קצות התחום.

נתונה הפונקציה f(x)=√(x^2+16). מצאו את תחום ההגדרה, את f'(x), ואת נקודת הקיצון של הפונקציה.

  1. מכיוון ש-x^2+16≥16>0 לכל x ממשי, הביטוי תחת השורש תמיד חיובי, ולכן תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.
  2. גוזרים לפי כלל השרשרת עם f(x)=√(u) כאשר u=x^2+16, u'=2x: הנגזרת היא f'(x)=u'/(2√u)=2x/(2√(x^2+16))=x/√(x^2+16).
  3. בודקים את סימן f'(x): המכנה √(x^2+16) תמיד חיובי, ולכן סימן f'(x) נקבע לפי סימן x בלבד - f'(x)<0 עבור x<0, f'(x)>0 עבור x>0, ו-f'(0)=0.
  4. מכיוון שהנגזרת שלילית משמאל לאפס וחיובית מימינו, יש בנקודה x=0 מינימום מקומי. f(0)=√(0+16)=√16=4.

תשובה: תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי, f'(x)=x/√(x^2+16), ולפונקציה יש מינימום מקומי בנקודה (0,4).

תרגול

1. נתונה הפונקציה f(x)=x^3-6x^2+9x+1. מצאו את f'(x) ואת f''(x), את נקודות הקיצון (וסווגו אותן באמצעות מבחן הנגזרת השנייה), ואת נקודת הפיתול.תרגול
  1. f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3). נקודות חשודות: x=1, x=3.
  2. f''(x)=6x-12.
  3. f''(1)=6-12=-6<0 - מקסימום מקומי ב-x=1. f(1)=1-6+9+1=5.
  4. f''(3)=18-12=6>0 - מינימום מקומי ב-x=3. f(3)=27-54+27+1=1.
  5. נקודת פיתול: f''(x)=0 → 6x-12=0 → x=2. בדיקת החלפת סימן: f''(1)=-6<0, f''(3)=6>0 - יש החלפת סימן, ולכן x=2 היא נקודת פיתול. f(2)=8-24+18+1=3.

תשובה: מקסימום מקומי (1,5), מינימום מקומי (3,1), ונקודת פיתול (2,3).

2. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=√(2x-10).תרגול
  1. דורשים שהביטוי תחת השורש יהיה לא-שלילי: 2x-10≥0.
  2. פותרים: 2x≥10, ולכן x≥5.

תשובה: תחום ההגדרה הוא x≥5, כלומר [5,∞).

3. נתונה הפונקציה f(x)=√(16-x^2). מצאו את תחום ההגדרה ואת תחום הערכים (הטווח) שלה.תרגול
  1. תחום ההגדרה: דורשים 16-x^2≥0, כלומר x^2≤16, ולכן -4≤x≤4.
  2. הפונקציה מתארת את חצי המעגל העליון שרדיוסו 4 (מאותו נימוק כמו בדוגמה f(x)=√(9-x^2)), ולכן ערכיה נעים בין 0 (בקצוות x=±4) ל-4 (במרכז, x=0).

תשובה: תחום ההגדרה [-4,4], ותחום הערכים [0,4].

4. נתונה הפונקציה g(x)=x^4-4x^3. מצאו את g'(x) ואת g''(x), ומצאו את כל נקודות הפיתול של הפונקציה.תרגול
  1. g'(x)=4x^3-12x^2.
  2. g''(x)=12x^2-24x=12x(x-2). מתאפסת ב-x=0 וב-x=2.
  3. בודקים החלפת סימן סביב x=0: g''(-1)=12+24=36>0, g''(1)=12-24=-12<0 - יש החלפת סימן (מחיובי לשלילי), ולכן x=0 היא נקודת פיתול. g(0)=0.
  4. בודקים החלפת סימן סביב x=2: g''(1)=-12<0, g''(3)=108-72=36>0 - יש החלפת סימן (משלילי לחיובי), ולכן x=2 היא גם היא נקודת פיתול. g(2)=16-32=-16.

תשובה: לפונקציה שתי נקודות פיתול: (0,0) ו-(2,-16).

5. מהירותה של מכונית (בקמ"ש) בזמן t (בשניות מתחילת התנועה) נתונה על ידי v(t)=-0.5t^2+6t, עבור 0≤t≤12. א. מצאו את פונקציית התאוצה a(t)=v'(t). ב. באילו זמנים התאוצה חיובית (המהירות עולה) ובאילו שלילית (המהירות יורדת)? ג. מהי התאוצה בזמן t=4, וכיצד היא משתנה עם הזמן (א(t) עצמה עולה או יורדת)?שאלה בהקשר
  1. א. התאוצה היא הנגזרת של המהירות: a(t)=v'(t)=-t+6.
  2. ב. a(t)>0 כאשר -t+6>0, כלומר t<6 (המהירות עולה בקטע הזה). a(t)<0 כאשר t>6 (המהירות יורדת שם). ב-t=6 עצמו a(t)=0, וזו בדיוק הנקודה שבה המהירות מגיעה לשיא שלה (v(6)=-0.5·36+36=18).
  3. ג. מציבים t=4: a(4)=-4+6=2 (חיובית - המהירות עדיין עולה באותו רגע). שימו לב שהתאוצה עצמה a(t)=-t+6 הולכת וקטנה עם הזמן (זו פונקציה יורדת, כי a'(t)=-1<0) - כלומר גם כשהמהירות עולה (עד t=6), היא עולה בקצב שהולך ונחלש, ולא בקצב גובר.

תשובה: א. a(t)=-t+6. ב. התאוצה חיובית (המהירות עולה) עבור 0≤t<6, ושלילית (המהירות יורדת) עבור 6<t≤12. ג. a(4)=2, אך התאוצה עצמה הולכת וקטנה עם הזמן (המהירות עולה בקצב מואט, לא בקצב גובר).

6. נתונה הפונקציה f(x)=√(x^2-4x+13). הראו שתחום ההגדרה שלה הוא כל הישר הממשי, מצאו את f'(x), ומצאו את נקודת הקיצון שלה.שאלה בהקשר
  1. משלימים לריבוע את הביטוי תחת השורש: x^2-4x+13=(x-2)^2+9. מכיוון ש-(x-2)^2≥0 תמיד, הביטוי (x-2)^2+9≥9>0 לכל x - ולכן תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.
  2. גוזרים לפי כלל השרשרת: f'(x)=(2x-4)/(2√(x^2-4x+13))=(x-2)/√(x^2-4x+13).
  3. המכנה תמיד חיובי, ולכן סימן f'(x) נקבע לפי סימן (x-2): f'(x)<0 עבור x<2, f'(x)>0 עבור x>2, ו-f'(2)=0 - כלומר מינימום מקומי ב-x=2.
  4. מחשבים f(2)=√((2-2)^2+9)=√9=3.

תשובה: תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי, f'(x)=(x-2)/√(x^2-4x+13), ולפונקציה מינימום מקומי בנקודה (2,3).

7. ידוע כי בנקודה x=3 על גרף של פונקציה כלשהי, קו המשיק לגרף 'חוצה' את הגרף - כלומר מצד אחד של x=3 הגרף נמצא מעל קו המשיק, ומהצד השני הגרף נמצא מתחתיו. מה ניתן להסיק על סוג הנקודה x=3, ועל התנהגות הנגזרת השנייה בסביבתה?שאלה בהקשר
  1. ההגדרה של נקודת פיתול היא בדיוק זו: נקודה שבה קו המשיק חוצה את הגרף (מצד אחד הגרף מעליו, מצד שני מתחתיו). לכן x=3 היא נקודת פיתול.
  2. מכיוון שבנקודת פיתול הנגזרת השנייה מחליפה סימן, אפשר להסיק שסימנה של f''(x) בסביבת x=3 שונה בצד אחד לעומת הצד השני - כלומר f''(x) חיובית בצד אחד ושלילית בצד השני של x=3 (או שהיא אינה מוגדרת בדיוק בנקודה עצמה, כפי שקורה לעיתים).

תשובה: x=3 היא נקודת פיתול, והנגזרת השנייה f''(x) מחליפה סימן משני צדי הנקודה.

לזכירה

  • הנגזרת השנייה f''(x)=(f'(x))' מתארת את קצב השינוי של קצב השינוי - אם f''>0 קצב השינוי גדל, ואם f''<0 קצב השינוי קטן.
  • קעירות: בקטע שבו f''(x)>0 הפונקציה קעורה כלפי מעלה (כמו קערה, מעל למשיקים ומתחת למיתרים), ובקטע שבו f''(x)<0 היא קעורה כלפי מטה (כמו כיפה, מתחת למשיקים ומעל למיתרים).
  • מבחן הנגזרת השנייה: בנקודה חשודה לקיצון (f'(x0)=0), אם f''(x0)>0 יש מינימום מקומי, ואם f''(x0)<0 יש מקסימום מקומי.
  • נקודת פיתול היא נקודה שבה קו המשיק חוצה את הגרף, וקעירות הפונקציה עוברת מכלפי מעלה לכלפי מטה (או להפך) - לרוב מתגלה כנקודה שבה f''(x) משנה סימן.
  • פונקציה מהצורה √(f(x)) מוגדרת רק היכן ש-f(x)≥0. חשוב: √(x^2)=|x| ולא x, ופתרון משוואות על ידי העלאה בריבוע עלול להוסיף פתרונות זרים שיש לבדוק במשוואה המקורית.
  • נגזרת של √(f(x)) מחושבת לפי כלל השרשרת: [√(f(x))]'=f'(x)/(2√(f(x))), ומוגדרת רק היכן ש-f(x)>0 ממש.
הקודםאינדוקציה מתמטית ושימושיההבאחשבון אינטגרלי