לומדי

הקשר בין שני משתנים כמותיים – ניבוי ורגרסיה לינארית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! מקדם המתאם r הוא כמו "מד עוצמה" לקשר בין שני דברים - קרוב ל-1 או ל--1 אומר "קשר חזק וברור", קרוב ל-0 אומר "אין פה הרבה קשר לינארי". וישר הרגרסיה הוא הכלי שמשתמש בקשר הזה כדי לנחש: אם אני יודע x, מה כנראה y? תמיד תזכרו - הישר עובר בדיוק דרך נקודת הממוצעים (x̄,ȳ), וזה עוגן נהדר לבדוק שהתשובה שלכם הגיונית. וניבוי רחוק מדי מהנתונים שבדקתם (מחוץ לטווח) הוא תמיד פחות אמין מניבוי בתוך הטווח!

קשר סטטיסטי בין שני משתנים - דיאגרמת פיזור

כשיש שני משתנים כמותיים (x ו-y) הנמדדים על אותם פרטים, אפשר להציג אותם בדיאגרמת פיזור - נקודה לכל פרט. מסתכלים על הדיאגרמה (או על טבלת נתונים) כדי לקבוע, בלי שום חישוב, האם קיים קשר סטטיסטי בין המשתנים, ואם כן - מהו כיוונו: קשר חיובי (כש-x גדל, y נוטה לגדול), קשר שלילי (כש-x גדל, y נוטה לקטון), או שאין קשר נראה לעין. אפשר גם להעריך אם הקשר "מושלם" (כל הנקודות כמעט על קו אחד) או "רופף" (הנקודות מפוזרות).

גרף ממוצעים ושימושו לניבוי

גרף ממוצעים נבנה על ידי חלוקת ציר המשתנה הבלתי תלוי (x) לרצועות, וחישוב (או קבלת) ממוצע ערכי y בכל רצועה. הממוצע המתקבל בכל רצועה משמש כערך הניבוי של y עבור כל x השייך לאותה רצועה - דרך פשוטה לנבא בלי נוסחה מדויקת, במיוחד כשהקשר לא בהכרח לינארי מדויק.

מקדם המתאם הלינארי r - משמעות ותכונות

מקדם המתאם r הוא מספר שמודד את חוזק הקשר הלינארי בין שני משתנים. תכונותיו: הוא תמיד בין -1 ל-1; הוא סימטרי (אותו r בין x ל-y כמו בין y ל-x); הוא אינו משתנה כשמוסיפים קבוע למשתנה או משנים את יחידות המדידה - ולכן הוא "מספר טהור" בלי יחידות. הסימן של r מעיד על כיוון הקשר (חיובי/שלילי). אם r=±1, הקשר לינארי מושלם - כל הנקודות נמצאות בדיוק על קו ישר אחד. אם r=0, אין קשר סטטיסטי לינארי בין המשתנים.

חישוב מקדם המתאם ועוצמת הקשר

מחשבים את r מנתונים גולמיים לפי: r = [1/(N·Sx·Sy)] · [(x₁-x̄)(y₁-ȳ) + ... + (xₙ-x̄)(yₙ-ȳ)], כאשר Sx, Sy סטיות התקן של x ו-y. אפשר לחשב באופן שקול מנתונים מתוקננים (ציוני תקן). קובעים את עוצמת הקשר לפי קרבת |r| ל-1: 0.7≤|r|<1 - קשר חזק; 0.4≤|r|<0.7 - קשר בינוני; 0<|r|<0.4 - קשר חלש (וכמובן, הסימן של r קובע אם מדובר בקשר חיובי או שלילי).

ישר הרגרסיה - בנייה ושימוש לניבוי

ישר הרגרסיה הוא הישר המשמש לניבוי ערך y לפי ערך x, כשקיים קשר לינארי בין המשתנים. בונים אותו מתוך הממוצעים, סטיות התקן, ומקדם המתאם: y - ȳ = r·(Sy/Sx)·(x - x̄). הישר עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄,ȳ). חשוב: הניבוי בעל משמעות רק כשקיים קשר סטטיסטי לינארי; רוב הניבויים אינם מדויקים, כי קשר לינארי מושלם נדיר; וטרנספורמציה לינארית של y (למשל הכפלה בקבוע) משנה את שיפוע ישר הרגרסיה, אך לא את עוצמת הקשר (|r| אינו משתנה).

דוגמאות פתורות

נתונים חמישה זוגות ערכים: x={1,2,3,4,5}, y={3,5,7,9,11}, כאשר בדיוק y=2x+1 עבור כל הזוגות. מהו מקדם המתאם r בין x ל-y? הסבירו בלי לחשב את הנוסחה המלאה.

  1. כל חמש הנקודות מקיימות במדויק את המשוואה y=2x+1 - כלומר הן נמצאות בדיוק על קו ישר אחד.
  2. כאשר כל הנקודות נמצאות בדיוק על קו ישר, מקדם המתאם הוא בערכו המוחלט 1 בדיוק (קשר לינארי מושלם). מכיוון שהקשר חיובי (y גדל כש-x גדל, השיפוע 2 חיובי), r=1.

תשובה: r = 1 - קשר לינארי חיובי מושלם, כי כל הנקודות נמצאות בדיוק על אותו קו ישר.

נתונים ארבעה זוגות ערכים: x={1,2,3,4}, y={2,3,5,6}. חשבו את מקדם המתאם r.

  1. x̄=(1+2+3+4)/4=2.5. ȳ=(2+3+5+6)/4=4.
  2. סטיות מ-x̄: -1.5,-0.5,0.5,1.5. סטיות מ-ȳ: -2,-1,1,2.
  3. מכפלות הסטיות: (-1.5)(-2)=3, (-0.5)(-1)=0.5, (0.5)(1)=0.5, (1.5)(2)=3. סכום=7.
  4. Sx=√[(2.25+0.25+0.25+2.25)/4]=√1.25≈1.118. Sy=√[(4+1+1+4)/4]=√2.5≈1.581.
  5. r = (7/4)/(1.118×1.581) = 1.75/1.768 ≈ 0.99.

תשובה: r ≈ 0.99 - קשר לינארי חיובי חזק מאוד (קרוב מאוד למושלם).

בהמשך לדוגמה הקודמת (x̄=2.5, ȳ=4, Sx≈1.118, Sy≈1.581, r≈0.99): בנו את ישר הרגרסיה, ונבאו את y עבור x=6.

  1. שיפוע: r·(Sy/Sx) = 0.99×(1.581/1.118) ≈ 0.99×1.414 ≈ 1.4.
  2. הישר עובר דרך (x̄,ȳ)=(2.5,4): y-4 = 1.4(x-2.5), כלומר y = 1.4x - 3.5+4 = 1.4x+0.5.
  3. ניבוי עבור x=6: y = 1.4×6+0.5 = 8.4+0.5 = 8.9.

תשובה: ישר הרגרסיה: y=1.4x+0.5. הניבוי עבור x=6 הוא y≈8.9 - אך זהו ניבוי מחוץ לטווח הנתונים המקורי (1 עד 4), ולכן פחות אמין מניבוי בתוך הטווח.

תרגול

1. מקדם המתאם בין שני משתנים הוא r=0.55. סווגו את עוצמת הקשר.תרגול
  1. 0.4≤0.55<0.7.

תשובה: קשר לינארי חיובי בינוני.

2. אם x̄=12 ו-ȳ=45, דרך איזו נקודה עובר ישר הרגרסיה?תרגול
  1. ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים.

תשובה: דרך הנקודה (12,45).

3. נתון r=0.8, Sx=4, Sy=10. מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה.תרגול
  1. שיפוע = r·(Sy/Sx) = 0.8×(10/4) = 0.8×2.5 = 2.

תשובה: השיפוע הוא 2.

4. בדיאגרמת פיזור, ככל ש-x גדל, y נוטה לקטון בעקביות, והנקודות נמצאות קרוב מאוד לקו ישר אחד. מה אפשר לומר על הסימן והעוצמה המשוערת של מקדם המתאם, בלי לחשב?שאלה בהקשר
  1. הקשר יורד (שלילי) וכמעט מושלם (הנקודות קרובות מאוד לקו ישר).

תשובה: r שלילי, וקרוב מאוד ל--1 (קשר חזק מאוד).

5. נתונים ארבעה זוגות ערכים: x={2,4,6,8}, y={3,7,8,12}. חשבו את מקדם המתאם r.שאלה בהקשר
  1. x̄=5, ȳ=7.5.
  2. סטיות x: -3,-1,1,3. סטיות y: -4.5,-0.5,0.5,4.5.
  3. מכפלות: 13.5,0.5,0.5,13.5, סכום=28.
  4. Sx=√[(9+1+1+9)/4]=√5≈2.236. Sy=√[(20.25+0.25+0.25+20.25)/4]=√10.25≈3.202.
  5. r=(28/4)/(2.236×3.202)=7/7.16≈0.98.

תשובה: r ≈ 0.98 - קשר לינארי חיובי חזק מאוד.

6. בהתבסס על ישר הרגרסיה y=1.4x+0.5 (מהדוגמה שבסעיף הקודם, שנבנה מנתונים בטווח x=1 עד x=4), נבאו את y עבור x=3.5, וציינו אם זהו אינטרפולציה או אקסטרפולציה.שאלה בהקשר
  1. y=1.4×3.5+0.5=4.9+0.5=5.4.
  2. x=3.5 נמצא בתוך הטווח המקורי [1,4].

תשובה: y≈5.4. זוהי אינטרפולציה (בתוך טווח הנתונים המקורי) - ניבוי אמין יחסית.

7. בקבוצת נתונים, מכפילים כל ערך y בקבוע 3 (טרנספורמציה y→3y), בעוד ערכי x נשארים ללא שינוי. איך זה משפיע על מקדם המתאם r ועל שיפוע ישר הרגרסיה?שאלה בהקשר
  1. r אינו משתנה כשמכפילים משתנה בקבוע חיובי - הוא נשאר אותו דבר (r אינו תלוי ביחידות המדידה).
  2. שיפוע ישר הרגרסיה = r·(Sy/Sx). הכפלת y ב-3 מכפילה גם את Sy ב-3, ולכן השיפוע החדש = r·(3Sy/Sx) = 3× השיפוע המקורי.

תשובה: מקדם המתאם r נשאר ללא שינוי. שיפוע ישר הרגרסיה משולש (מוכפל פי 3).

לזכירה

  • קשר סטטיסטי בין שני משתנים נבדק תחילה ויזואלית (דיאגרמת פיזור) - קיום, כיוון, ומידת "מושלמות" - בלי צורך בחישוב.
  • גרף ממוצעים: מחלקים את ציר x לרצועות, וממוצע y בכל רצועה משמש לניבוי.
  • מקדם המתאם r: בין -1 ל-1, סימטרי, ללא יחידות (בלתי תלוי בהוספת קבוע או שינוי יחידות). r=±1 - קשר מושלם; r=0 - אין קשר לינארי.
  • עוצמת קשר: 0.7≤|r|<1 חזק, 0.4≤|r|<0.7 בינוני, 0<|r|<0.4 חלש.
  • ישר הרגרסיה: y-ȳ = r·(Sy/Sx)·(x-x̄), עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄,ȳ).
  • ניבוי בעזרת ישר הרגרסיה משמעותי רק כשקיים קשר לינארי; אמין יותר בתוך טווח הנתונים (אינטרפולציה) מאשר מחוצה לו (אקסטרפולציה).
  • הכפלת y בקבוע חיובי לא משנה את r, אך משנה את שיפוע ישר הרגרסיה באותו יחס.
הקודםהתפלגות נורמלית