לומדי

סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! את שני סוגי הסדרות האלה קל להבדיל אם שואלים שאלה אחת פשוטה: 'מה קורה בין כל שני איברים עוקבים - מוסיפים אותו מספר, או מכפילים באותו מספר?' אם מוסיפים - זו סדרה חשבונית, וה-d הוא מה שמוסיפים. אם מכפילים - זו סדרה הנדסית, וה-q הוא מה שמכפילים. הנוסחאות לאיבר הכללי ולסכום נראות בהתחלה מפחידות, אבל הן בעצם רק 'קיצור דרך' לחיבור/הכפלה חוזרים שכבר מכירים. ומה שהכי מרתק - סדרה הנדסית יורדת (עם q בין -1 ל-1) יכולה 'לרוץ' לנצח ועדיין להגיע לסכום סופי! זה כמו לרדוף אחרי קו הסיום שכל פעם מתקרבים אליו חצי מהדרך שנשארה - לעולם לא תפספסו את זה, פשוט תתקרבו יותר ויותר.

סדרה חשבונית - נוסחת האיבר הכללי וסכום n איברים

סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע - הוא נקרא הפרש הסדרה ומסומן d. אפשר להגדיר אותה בשתי דרכים שקולות: לפי נוסחת נסיגה a(n+1)=a(n)+d (כל איבר מתקבל מקודמו בתוספת d), או לפי נוסחה מפורשת a(n)=a(1)+(n-1)d (מקום ה-n של הסדרה מחושב ישירות מהאיבר הראשון). כדי לעבור מנוסחת הנסיגה לנוסחה המפורשת, שמים לב שכדי להגיע מ-a(1) ל-a(n) מוסיפים את d בדיוק (n-1) פעמים. סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית מחושב לפי S(n)=n/2·(a(1)+a(n)), או באופן שקול S(n)=n/2·(2a(1)+(n-1)d) לאחר הצבת נוסחת האיבר הכללי - נוסחה זו שימושית כאשר לא ידוע האיבר האחרון עצמו.

סדרה הנדסית - נוסחת האיבר הכללי וסכום n איברים

סדרה הנדסית היא סדרה שבה המנה בין כל שני איברים עוקבים קבועה - היא נקראת מנת הסדרה ומסומנת q (כאשר q≠0). גם כאן יש שתי דרכי הגדרה שקולות: נוסחת נסיגה a(n+1)=a(n)·q, או נוסחה מפורשת a(n)=a(1)·q^(n-1). סכום n האיברים הראשונים, כאשר q≠1, מחושב לפי S(n)=a(1)·(q^n-1)/(q-1). חשוב לשים לב: אם q=1 הסדרה קבועה (כל האיברים שווים ל-a(1)) והנוסחה הזו אינה תקפה - במקרה כזה S(n)=n·a(1) בפשטות.

טור הנדסי אינסופי יורד

כאשר מנת הסדרה ההנדסית מקיימת |q|<1 (כלומר -1<q<1, q≠0), הערך המוחלט של איברי הסדרה שואף לאפס ככל ש-n גדל - הסדרה 'דועכת'. במקרה כזה סכום כל אינסוף האיברים של הסדרה שואף לערך סופי וקבוע, הנקרא סכום הטור ההנדסי האינסופי היורד: S=a(1)/(1-q). זהו רעיון חשוב ומפתיע - חיבור אינסוף מספרים חיוביים (או מתחלפי סימן) ובכל זאת מקבלים תוצאה סופית, כי כל איבר נוסף קטן משמעותית מקודמו. חשוב להבחין בין S(n) - סכום n האיברים הראשונים בלבד (מספר סופי) - לבין S - סכום כל האיברים עד אינסוף; ככל ש-n גדל, S(n) מתקרב יותר ויותר ל-S אך אינו מגיע אליו במספר סופי של צעדים.

מציאת איברים לא ידועים ממערכת נתונים

לעיתים לא נתונים ישירות a(1) ו-d (או q), אלא רק שני איברים אחרים בסדרה, או תנאי על הסכום. במקרים כאלה בונים מערכת משוואות: כל איבר נתון מציבים בנוסחת האיבר הכללי, ומקבלים משוואה שבה הנעלמים הם a(1) ו-d (או q). פותרים את המערכת - לרוב באמצעות חיסור המשוואות זו מזו כדי לבודד תחילה את d (או את q, בדרך כלל על ידי חילוק המשוואות זו בזו, שנותן ביטוי עם q בחזקה) - ולאחר מציאתם, מציבים חזרה כדי למצוא את a(1) ולענות על שאר השאלה.

קצב הגידול: סדרה הנדסית לעומת סדרה חשבונית

כאשר q>1, סדרה הנדסית גדלה הרבה יותר מהר מסדרה חשבונית עם d חיובי - גם אם בהתחלה נראה שהסדרה החשבונית 'מובילה', בטווח הרחוק הסדרה ההנדסית תמיד תעקוף אותה ותרחיק ממנה משמעותית, כי הגידול שלה מוכפל בכל צעד ולא רק מתווסף אליו. זו התופעה שעומדת מאחורי ביטויים כמו 'גידול מעריכי' (למשל בהתפשטות מחלה, בריבית דריבית, או בגידול אוכלוסייה), וחשוב לזהות אותה בהקשרים מהחיים - כאן טמון ההבדל המהותי בין תוספת קבועה (חשבונית) להכפלה קבועה (הנדסית).

דוגמאות פתורות

בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 7 וההפרש הוא 4. מצאו את האיבר ה-15 בסדרה, ואת סכום 15 האיברים הראשונים.

  1. מציבים בנוסחת האיבר הכללי a(n)=a(1)+(n-1)d עם a(1)=7, d=4, n=15: a(15)=7+(15-1)·4=7+14·4=7+56=63.
  2. לחישוב הסכום משתמשים בנוסחה S(n)=n/2·(a(1)+a(n)) עם n=15, a(1)=7, a(15)=63: S(15)=15/2·(7+63)=15/2·70.
  3. מחשבים: 15/2·70=15·35=525.

תשובה: האיבר ה-15 בסדרה הוא 63, וסכום 15 האיברים הראשונים הוא 525.

בסדרה הנדסית ידוע כי a(2)=6 ו-a(5)=48. מצאו את האיבר הראשון a(1) ואת מנת הסדרה q, וכן מצאו את סכום 6 האיברים הראשונים.

  1. מציבים את שני האיברים הנתונים בנוסחת האיבר הכללי: a(2)=a(1)·q=6, וכן a(5)=a(1)·q^4=48.
  2. מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה כדי לבודד את q: (a(1)·q^4)/(a(1)·q)=48/6, כלומר q^3=8, ומכאן q=2.
  3. מציבים את q=2 במשוואה a(1)·q=6 כדי למצוא את a(1): a(1)·2=6, ולכן a(1)=3.
  4. לחישוב סכום 6 האיברים הראשונים משתמשים בנוסחה S(n)=a(1)·(q^n-1)/(q-1) עם a(1)=3, q=2, n=6: S(6)=3·(2^6-1)/(2-1)=3·(64-1)/1=3·63=189.

תשובה: a(1)=3, q=2, וסכום 6 האיברים הראשונים הוא S(6)=189.

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שאיברה הראשון הוא 12 ומנתה q=1/3. א. מצאו את סכום כל אברי הסדרה (עד אינסוף). ב. מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר n שעבורו סכום n האיברים הראשונים גדול מ-17.9.

  1. סעיף א: מכיוון ש-|q|=1/3<1, הסדרה אכן יורדת ואפשר לחשב את סכום כל אבריה לפי S=a(1)/(1-q)=12/(1-1/3)=12/(2/3)=12·3/2=18.
  2. סעיף ב: משתמשים בנוסחת הסכום החלקי S(n)=a(1)·(1-q^n)/(1-q)=12·(1-(1/3)^n)/(2/3)=18·(1-(1/3)^n), ודורשים 18·(1-(1/3)^n)>17.9.
  3. מחלקים ב-18: 1-(1/3)^n>17.9/18≈0.9944, ולכן (1/3)^n<0.0056 בקירוב.
  4. בודקים ערכי n: עבור n=4, (1/3)^4=1/81≈0.0123 - גדול מדי, לא מקיים. עבור n=5, (1/3)^5=1/243≈0.0041 - קטן מ-0.0056, מקיים את התנאי.
  5. מוודאים: S(5)=18·(1-1/243)=18·242/243=4356/243≈17.926, וזה אכן גדול מ-17.9; ואילו S(4)=18·(80/81)≈17.778, קטן מ-17.9 - כלומר n=5 הוא באמת הראשון שמקיים.

תשובה: א. סכום כל אברי הסדרה הוא 18. ב. המספר הטבעי הקטן ביותר שעבורו סכום n האיברים הראשונים גדול מ-17.9 הוא n=5.

תרגול

1. בסדרה חשבונית a(1)=5 ו-d=3. מצאו את a(10) ואת S(10).תרגול
  1. מציבים בנוסחת האיבר הכללי: a(10)=5+(10-1)·3=5+27=32.
  2. מציבים בנוסחת הסכום: S(10)=10/2·(5+32)=5·37=185.

תשובה: a(10)=32, S(10)=185.

2. בסדרה הנדסית a(1)=2 ו-q=3. מצאו את a(6) ואת S(6).תרגול
  1. מציבים בנוסחת האיבר הכללי: a(6)=2·3^5=2·243=486.
  2. מציבים בנוסחת הסכום: S(6)=2·(3^6-1)/(3-1)=2·(729-1)/2=728.

תשובה: a(6)=486, S(6)=728.

3. סדרה חשבונית מוגדרת על ידי נוסחת נסיגה: a(1)=8, a(n+1)=a(n)-5. מצאו נוסחה מפורשת ל-a(n), וכן מצאו את a(20).תרגול
  1. מנוסחת הנסיגה רואים שההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע ושווה ל-d=-5, ולכן זו אכן סדרה חשבונית עם a(1)=8.
  2. הנוסחה המפורשת: a(n)=a(1)+(n-1)d=8+(n-1)·(-5)=8-5n+5=13-5n.
  3. מציבים n=20: a(20)=13-5·20=13-100=-87.

תשובה: הנוסחה המפורשת היא a(n)=13-5n, ו-a(20)=-87.

4. נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שאיברה הראשון 9 ומנתה q=1/3. מצאו את סכום כל אברי הסדרה.תרגול
  1. מוודאים ש-|q|=1/3<1, ולכן אפשר להשתמש בנוסחת הטור האינסופי.
  2. מציבים בנוסחה S=a(1)/(1-q)=9/(1-1/3)=9/(2/3)=9·3/2=13.5.

תשובה: סכום כל אברי הסדרה הוא 13.5.

5. משכורתו ההתחלתית של עובד היא 4500 ש"ח בחודש, ומדי שנה היא עולה בתוספת קבועה של 200 ש"ח. מהי משכורתו בשנה העשירית לעבודתו? מה סך כל המשכורות שקיבל במהלך 10 שנות העבודה הראשונות (בהנחה שהמשכורת קבועה לאורך כל שנה)?שאלה בהקשר
  1. מדובר בסדרה חשבונית: a(1)=4500 (המשכורת בשנה הראשונה), d=200.
  2. המשכורת בשנה העשירית: a(10)=4500+(10-1)·200=4500+1800=6300 ש"ח.
  3. סך כל המשכורות ב-10 שנים הוא סכום 10 האיברים הראשונים: S(10)=10/2·(4500+6300)=5·10800=54000 ש"ח.

תשובה: המשכורת בשנה העשירית היא 6300 ש"ח, וסך כל המשכורות ב-10 השנים הוא 54,000 ש"ח.

6. בסדרה חשבונית ידוע כי a(4)=20 ו-a(9)=45. מצאו את a(1) ואת d, וכן מצאו את S(20).שאלה בהקשר
  1. מציבים את שני האיברים הנתונים: a(4)=a(1)+3d=20, וכן a(9)=a(1)+8d=45.
  2. מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה כדי לבטל את a(1): (a(1)+8d)-(a(1)+3d)=45-20, כלומר 5d=25, ולכן d=5.
  3. מציבים d=5 במשוואה הראשונה: a(1)+3·5=20, כלומר a(1)=20-15=5.
  4. מחשבים את S(20)=20/2·(2·a(1)+(20-1)·d)=10·(2·5+19·5)=10·(10+95)=10·105=1050.

תשובה: a(1)=5, d=5, ו-S(20)=1050.

7. כדור מוטל מגובה 10 מטר. בכל פעם שהוא פוגע ברצפה הוא קופץ לגובה השווה ל-3/5 מהגובה שממנו נפל, וכך הלאה עד אינסוף (בהתעלם מהתנגדות אוויר). מצאו את המרחק הכולל שעבר הכדור (למעלה ולמטה, סה"כ, עד שהוא נעצר תיאורטית).שאלה בהקשר
  1. מרחק הנפילה הראשונה (לפני שהכדור התחיל לקפוץ) הוא 10 מטר - זהו חלק שאינו כפול (רק ירידה אחת).
  2. כל קפיצה נוספת כוללת עלייה וירידה של אותו גובה, כך שהמרחק שנוסף בכל קפיצה הוא כפול מגובה הקפיצה. גבהי הקפיצות עצמן יוצרים סדרה הנדסית אינסופית יורדת: 6, 3.6, 2.16,... עם a(1)=6 ו-q=3/5.
  3. סכום כל גבהי הקפיצות: S=6/(1-3/5)=6/(2/5)=6·5/2=15 מטר.
  4. המרחק הכולל = הנפילה הראשונה + כפול סכום גבהי הקפיצות = 10+2·15=10+30=40 מטר.

תשובה: המרחק הכולל שעבר הכדור הוא 40 מטר.

8. אוכלוסיית חיידקים מונה בתחילת המדידה (t=0) 500 חיידקים, ומספרם מוכפל בכל שעה. אחרי כמה שעות שלמות (המספר השלם הקטן ביותר) יעבור מספר החיידקים לראשונה את 50,000?שאלה בהקשר
  1. מספר החיידקים אחרי t שעות נתון על ידי סדרה הנדסית: N(t)=500·2^t (כאשר t הוא מספר השעות שחלפו).
  2. דורשים N(t)>50000: 500·2^t>50000, ומחלקים ב-500: 2^t>100.
  3. בודקים חזקות של 2: 2^6=64 (קטן מ-100), 2^7=128 (גדול מ-100).
  4. לכן t=7 הוא המספר השלם הקטן ביותר שמקיים את התנאי.

תשובה: אחרי 7 שעות שלמות מספר החיידקים יעבור לראשונה את 50,000 (יגיע ל-500·2^7=64,000).

לזכירה

  • סדרה חשבונית: הפרש קבוע d בין איברים עוקבים. a(n)=a(1)+(n-1)d, ו-S(n)=n/2·(a(1)+a(n))=n/2·(2a(1)+(n-1)d).
  • סדרה הנדסית: מנה קבועה q≠0 בין איברים עוקבים. a(n)=a(1)·q^(n-1), ו-S(n)=a(1)·(q^n-1)/(q-1) עבור q≠1.
  • כאשר |q|<1 בסדרה הנדסית, הסדרה יורדת לאפס וניתן לחשב את סכום כל אינסוף איבריה: S=a(1)/(1-q).
  • כשנתונים שני איברים (או תנאים) ולא ישירות a(1) ו-d/q, בונים מערכת משוואות מנוסחת האיבר הכללי ופותרים אותה - בדרך כלל בחיסור (לחשבונית) או בחילוק (להנדסית).
  • סדרה הנדסית עם q>1 גדלה מהר משמעותית יותר מסדרה חשבונית עם d חיובי, ולכן היא מתאימה לתיאור תהליכי גידול מעריכי (ריבית דריבית, גידול אוכלוסייה, התפשטות מחלה).
הבאאינדוקציה מתמטית ושימושיה