לומדי

שאלות ערך קיצון

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! כל בעיית ערך קיצון היא בעצם סיפור: יש גודל שרוצים שיהיה הכי גדול או הכי קטן שאפשר, ותפקידכם לתרגם אותו למשוואה. הצעד הכי חשוב הוא להחליט מה יהיה ה-x שלכם (מה המשתנה שמשתנה), ואז לכתוב הכל דרכו - כולל המשתנים האחרים שתלויים בו. אחרי שיש לכם פונקציה אחת עם משתנה אחד, זה כבר הופך לחקירת פונקציה רגילה שאתם כבר יודעים לעשות. אל תשכחו לבדוק תחום - x חייב להיות הגיוני במצב (למשל, לא שלילי אם הוא מייצג אורך)!

שיטת העבודה בשאלות ערך קיצון

שאלת ערך קיצון תמיד מתחילה בהגדרת משתנה (בדרך כלל x), בניית פונקציה שמתארת את הגודל שרוצים למקסם או למזער כתלות ב-x, וקביעת תחום ההגדרה המתאים למצב המעשי (למשל x>0 כשמדובר באורך). לאחר מכן גוזרים, פותרים f′(x)=0, ובודקים סימן של הנגזרת משני צדי כל נקודה חשודה כדי לקבוע האם זה מקסימום, מינימום, או בכלל לא נקודת קיצון. בפרק הזה, הפונקציה שבונים היא תמיד רציונלית או פונקציית שורש (מהצורות שנלמדו בפרק הקודם) - לא פולינום.

תחום פתוח מול תחום סגור

כשהתחום פתוח ובלתי חסום (כמו x>0), נקודת קיצון פנימית שמתקבלת מ-f′(x)=0 היא לרוב הקיצון היחיד - וכדי לוודא שהיא אכן מינימום (ולא מקסימום), בודקים את סימן הנגזרת בנקודה משני צדדיה (מציבים ערך x קטן יותר וערך x גדול יותר בf′(x), ובודקים אם הסימן עובר משלילי לחיובי או להפך). כשהתחום סגור וחסום (כמו 0≤x≤10), צריך תמיד לבדוק גם את שני קצוות התחום כמועמדים לקיצון - בדיוק כמו בחקירת פונקציה רגילה. (הנגזרת השנייה אינה בתוכנית הלימודים ברמה זו, ולכן משתמשים תמיד בבדיקת סימן הנגזרת הראשונה.)

בעיות מספרים ובעיות כלכליות

בבעיות כאלה בונים ביטוי רציונלי, לרוב מהצורה "סכום של איבר לינארי ואיבר הופכי" - למשל עלות שמורכבת מעלות קבועה המתחלקת על פני כמות (ולכן הופכית לכמות) ועלות משתנה שגדלה עם הכמות (לינארית). המינימום של ביטוי כזה מתקבל כשגוזרים ומשווים לאפס.

בעיות גאומטריות במישור ובמרחב

בעיות גאומטריות במישור עשויות לכלול, למשל, מלבן החסום מתחת לגרף של פונקציית שורש - שטחו הוא מכפלה של גודל לינארי בשורש, בדיוק מהצורה g(x)·√f(x) שנלמדה. בעיות גאומטריות במרחב עוסקות בתיבה (נפח, שטח פנים, שטח מעטפת): נותנים אילוץ אחד (למשל נפח קבוע), מבטאים את הגובה כתלות בצלע הבסיס, ומקבלים פונקציה רציונלית של שטח הפנים שיש למזער או למקסם.

דוגמאות פתורות

עלות ההזמנה השנתית של חנות היא C(x)=400/x + 4x (ש"ח לאלף יחידות), כאשר x הוא כמות ההזמנה בכל פעם (x>0). מצאו את כמות ההזמנה שממזערת את העלות, ואת העלות המינימלית.

  1. גוזרים: C′(x) = -400/x² + 4.
  2. משווים לאפס: -400/x² + 4 = 0 → 4 = 400/x² → x² = 100 → x=10 (פוסלים x=-10 כי x>0).
  3. בדיקת סוג הקיצון: עבור x<10, C′(x)<0 (למשל x=5: -16+4=-12<0, יורדת); עבור x>10, C′(x)>0 (למשל x=20: -1+4=3>0, עולה) - מעבר מירידה לעלייה, כלומר מינימום.
  4. C(10) = 400/10 + 4·10 = 40+40 = 80.

תשובה: כמות ההזמנה הממזערת היא x=10, והעלות המינימלית היא 80 ש"ח.

רוצים לבנות תיבה ללא מכסה, עם בסיס ריבועי בצלע x, שנפחה 4 מ"ק. מצאו את הצלע x שממזערת את שטח הפנים (בסיס + 4 דפנות), ואת שטח הפנים המינימלי.

  1. הגובה h מקיים V=x²·h=4, כלומר h=4/x².
  2. שטח הפנים (בסיס + 4 דפנות, בלי מכסה): S(x) = x² + 4·x·h = x² + 4x·(4/x²) = x² + 16/x, עבור x>0.
  3. גוזרים: S′(x) = 2x - 16/x². משווים לאפס: 2x = 16/x² → 2x³=16 → x³=8 → x=2.
  4. בדיקה בסימן הנגזרת הראשונה: S′(1)=2-16=-14<0 (יורדת), S′(3)=6-16/9≈4.22>0 (עולה) - מעבר מירידה לעלייה סביב x=2, כלומר מינימום.
  5. S(2) = 2² + 16/2 = 4+8 = 12. הגובה: h=4/4=1.

תשובה: הצלע הממזערת היא x=2 מ' (גובה 1 מ'), ושטח הפנים המינימלי הוא 12 מ"ר.

בין כל המלבנים החסומים מתחת לחצי-המעגל y=√(36-x²) (עם בסיס על ציר ה-x, סימטרי סביב ראשית הצירים), מצאו את המלבן בעל השטח המרבי.

  1. אם קודקוד המלבן הימני-עליון הוא (x, √(36-x²)) עם x>0, רוחב המלבן הוא 2x וגובהו √(36-x²). שטח: A(x) = 2x·√(36-x²), עבור 0<x<6.
  2. גוזרים לפי כלל המכפלה והשרשרת: A′(x) = 2√(36-x²) + 2x·[-x/√(36-x²)] = [2(36-x²) - 2x²]/√(36-x²) = (72-4x²)/√(36-x²).
  3. משווים את המונה לאפס: 72-4x²=0 → x²=18 → x=√18=3√2 (בתחום 0<x<6, כי 3√2≈4.24).
  4. A(3√2) = 2·3√2·√(36-18) = 6√2·√18 = 6√2·3√2 = 18·2 = 36.
  5. בדיקה שזה מקסימום: בשני קצוות התחום הפתוח, A(x)→0 (ב-x→0 הרוחב מתאפס, וב-x→6 הגובה מתאפס), ולכן נקודת הקיצון הפנימית היחידה היא בהכרח המקסימום.

תשובה: השטח המרבי הוא 36, מתקבל כאשר x=3√2 (רוחב המלבן 6√2, גובהו √18=3√2).

תרגול

1. נתונה f(x)=x+9/x עבור x>0. מצאו את נקודת הקיצון שלה וקבעו את סוגה.תרגול
  1. f′(x)=1-9/x². משווים לאפס: x²=9 → x=3 (x>0).
  2. בדיקת סימן: f′(2)=1-9/4=-1.25<0 (יורדת), f′(4)=1-9/16≈0.44>0 (עולה) - מעבר מירידה לעלייה, ולכן x=3 הוא מינימום.
  3. f(3)=3+3=6.

תשובה: מינימום בנקודה x=3, כאשר f(3)=6.

2. נתונה S(x)=x²+50/x עבור x>0. מהו תחום ההגדרה המתאים, ומדוע?תרגול
  1. x מייצג אורך צלע (הקשר לבעיית תיבה/שטח), ולכן חייב להיות חיובי.

תשובה: x>0.

3. עלות ייצור יומית נתונה על ידי C(x)=900/x+9x, כאשר x כמות היחידות (x>0). מצאו את הכמות הממזערת את העלות ואת העלות המינימלית.שאלה בהקשר
  1. C′(x)=-900/x²+9=0 → x²=100 → x=10.
  2. עבור x<10 הנגזרת שלילית, עבור x>10 חיובית - מינימום.
  3. C(10)=90+90=180.

תשובה: הכמות הממזערת היא x=10, והעלות המינימלית 180.

4. מצאו שני מספרים חיוביים שמכפלתם 16, כך שסכומם יהיה מינימלי.שאלה בהקשר
  1. נסמן מספר אחד ב-x (x>0), אז השני הוא 16/x. הסכום: S(x)=x+16/x.
  2. S′(x)=1-16/x²=0 → x²=16 → x=4 (x>0).
  3. הבדיקה: S′ שלילית לפני x=4 וחיובית אחריו - מינימום. S(4)=4+4=8.
  4. המספר השני: 16/4=4.

תשובה: שני המספרים הם 4 ו-4, וסכומם המינימלי הוא 8.

5. בונים תיבה ללא מכסה עם בסיס ריבועי בצלע x ונפח 32 מ"ק. מצאו את x שממזער את שטח הפנים, ואת שטח הפנים המינימלי.שאלה בהקשר
  1. h=32/x². S(x)=x²+4x·(32/x²)=x²+128/x.
  2. S′(x)=2x-128/x²=0 → 2x³=128 → x³=64 → x=4.
  3. S(4)=16+128/4=16+32=48.

תשובה: הצלע הממזערת היא x=4 (גובה h=2), ושטח הפנים המינימלי 48 מ"ר.

6. בין כל המלבנים החסומים מתחת לחצי-המעגל y=√(64-x²) (בסיס על ציר x, סימטרי סביב הראשית), מצאו את השטח המרבי.שאלה בהקשר
  1. A(x)=2x√(64-x²), 0<x<8.
  2. A′(x) = (2(64-x²)-2x²)/√(64-x²) = (128-4x²)/√(64-x²) = 0 → x²=32 → x=√32=4√2.
  3. A(4√2) = 2·4√2·√(64-32) = 8√2·√32 = 8√2·4√2 = 32·2 = 64.
  4. בקצוות התחום הפתוח A(x)→0 (ב-x→0 וב-x→8), ולכן נקודת הקיצון הפנימית היא המקסימום.

תשובה: השטח המרבי הוא 64, מתקבל כאשר x=4√2.

לזכירה

  • שיטת העבודה: להגדיר משתנה, לבנות פונקציה של הגודל הרצוי לפי אותו משתנה, לקבוע תחום מתאים, לגזור ולפתור f′(x)=0, ולבדוק סוג הקיצון.
  • הפונקציות בפרק זה הן תמיד רציונליות או פונקציות שורש (מהצורות שנלמדו בפרק הקודם) - לא פולינומים.
  • בתחום פתוח ובלתי חסום בודקים סימן הנגזרת משני צדי הנקודה החשודה (הנגזרת השנייה אינה בתוכנית); בתחום סגור בודקים גם את הקצוות.
  • בעיות כלכליות/מספרים בונות לרוב ביטוי מהצורה "איבר לינארי ועוד איבר הופכי" שממוזער בנגזרת.
  • בעיות גאומטריות במישור עשויות לכלול מלבן חסום מתחת לגרף שורש: A(x)=g(x)·√f(x).
  • בעיות גאומטריות במרחב עוסקות בתיבה: נותנים אילוץ (למשל נפח), מבטאים גודל אחד דרך אחר, ומקבלים פונקציה רציונלית שממזערים/ממקסמים.
הקודםחשבון דיפרנציאלי של פונקציה רציונלית ופונקציית שורשהבאחשבון אינטגרלי