חזרה על תכנים שנלמדו בכיתה י' – ממוצע וסטיית תקן
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! ממוצע וסטיית תקן הם כמו זוג - הממוצע אומר לכם "איפה המרכז", וסטיית התקן אומרת לכם "כמה הכל מפוזר סביב המרכז הזה". תחשבו על שתי כיתות עם אותו ממוצע ציונים בדיוק - באחת כולם קיבלו ציון דומה, ובשנייה יש גם ציונים גבוהים מאוד וגם נמוכים מאוד. הממוצע לא יבדיל ביניהן, אבל סטיית התקן כן - וזה בדיוק הכלי שנשתמש בו הרבה בהמשך.
חזרה: הממוצע
הממוצע (החשבוני) של קבוצת נתונים הוא סכום כל הערכים חלקי מספרם: x̄ = (x₁+x₂+...+xₙ)/n. הממוצע מייצג את "מרכז הכובד" של הנתונים - נקודת האיזון שסביבה מתפזרים כל הערכים.
חזרה: סטיית התקן כמדד פיזור
הממוצע לבדו לא מספר הכל - שתי קבוצות נתונים יכולות להיות בעלות אותו ממוצע ולהיראות שונות לגמרי (אחת "צפופה" סביב הממוצע, אחת "מפוזרת"). סטיית התקן מודדת בדיוק את זה: כמה, בממוצע, הנתונים רחוקים מהממוצע. מחשבים אותה כך: לכל ערך מוצאים את הסטייה מהממוצע (xᵢ-x̄), מעלים בריבוע (כדי שסטיות חיוביות ושליליות לא יבטלו זו את זו), ממצעים את הריבועים, ולוקחים שורש: סטיית תקן = √[Σ(xᵢ-x̄)²/n]. ככל שסטיית התקן גדולה יותר, הנתונים מפוזרים יותר סביב הממוצע.
לקראת ציוני תקן
ממוצע וסטיית תקן הם הבסיס שעליו בונים בהמשך את הרעיון של "ציון תקן" - דרך למדוד היכן בדיוק נמצא נתון בודד ביחס לכל שאר הקבוצה, במונחים של כמה סטיות תקן הוא מרוחק מהממוצע. לכן חשוב לחזור עליהם היטב לפני שממשיכים להתפלגות הנורמלית.
דוגמאות פתורות
חשבו את הממוצע ואת סטיית התקן של קבוצת הנתונים: 2, 4, 6, 8, 10.
- ממוצע: (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6.
- סטיות מהממוצע: -4, -2, 0, 2, 4.
- ריבועי הסטיות: 16, 4, 0, 4, 16 - סכומן 40.
- שונות (ממוצע הריבועים): 40/5 = 8. סטיית תקן: √8 = 2√2 ≈ 2.83.
תשובה: ממוצע = 6, סטיית תקן = 2√2 ≈ 2.83.
לשתי קבוצות ציונים יש אותו ממוצע: קבוצה א: 70,72,68,71,69. קבוצה ב: 50,90,60,80,70. השוו את פיזור הנתונים בשתיהן באמצעות סטיית התקן.
- ממוצע קבוצה א: (70+72+68+71+69)/5=350/5=70. סטיות: 0,2,-2,1,-1. ריבועים: 0,4,4,1,1, סכום=10. שונות=10/5=2. סטיית תקן=√2≈1.41.
- ממוצע קבוצה ב: (50+90+60+80+70)/5=350/5=70. סטיות: -20,20,-10,10,0. ריבועים: 400,400,100,100,0, סכום=1000. שונות=1000/5=200. סטיית תקן=√200≈14.14.
תשובה: שתי הקבוצות בעלות אותו ממוצע (70), אך קבוצה א הרבה יותר "צפופה" (סטיית תקן≈1.41) מקבוצה ב (סטיית תקן≈14.14), שמפוזרת מאוד.
תרגול
1. חשבו את הממוצע של הקבוצה: 12, 15, 18, 21, 24.תרגול
- סכום = 12+15+18+21+24 = 90. ממוצע = 90/5 = 18.
תשובה: הממוצע הוא 18.
2. חשבו את סטיית התקן של הקבוצה: 12, 15, 18, 21, 24 (ממוצע 18, מהתרגיל הקודם).תרגול
- סטיות: -6,-3,0,3,6. ריבועים: 36,9,0,9,36, סכום=90.
- שונות = 90/5 = 18. סטיית תקן = √18 = 3√2 ≈ 4.24.
תשובה: סטיית התקן היא 3√2 ≈ 4.24.
3. מהי סטיית התקן של הקבוצה: 5, 5, 5, 5? הסבירו.תרגול
- כל הערכים זהים, ולכן כולם שווים לממוצע (5) - כל הסטיות הן 0.
תשובה: סטיית התקן היא 0, כי אין שום פיזור - כל הערכים זהים.
4. ממוצע חמישה נתונים הוא 50. ארבעה מהם הם 48, 50, 52, 55. מהו הנתון החמישי?תרגול
- סכום כל החמישה = 50×5=250. סכום הארבעה הידועים = 48+50+52+55=205.
תשובה: הנתון החמישי הוא 250-205=45.
5. שתי קבוצות נתונים: קבוצה C: 40,42,38,41,39. קבוצה D: 20,60,30,50,40. חשבו ממוצע וסטיית תקן לכל אחת, והשוו.שאלה בהקשר
- ממוצע C: (40+42+38+41+39)/5=200/5=40. סטיות: 0,2,-2,1,-1. ריבועים:0,4,4,1,1=10. שונות=2. סטיית תקן=√2≈1.41.
- ממוצע D: (20+60+30+50+40)/5=200/5=40. סטיות: -20,20,-10,10,0. ריבועים:400,400,100,100,0=1000. שונות=200. סטיית תקן=√200≈14.14.
תשובה: שתי הקבוצות בעלות ממוצע זהה (40), אך קבוצה C צפופה בהרבה (σ≈1.41) מקבוצה D (σ≈14.14).
6. לקבוצה {2,4,6} יש ממוצע 4 וסטיית תקן √(8/3)≈1.63. אם מוסיפים 10 לכל ערך (מקבלים {12,14,16}), מה קורה לממוצע ולסטיית התקן?שאלה בהקשר
- ממוצע חדש: (12+14+16)/3=42/3=14=4+10 - הממוצע עלה ב-10, בדיוק כמו התוספת.
- סטיות מהממוצע החדש: 12-14=-2, 14-14=0, 16-14=2 - בדיוק אותן סטיות כמו בקבוצה המקורית, ולכן סטיית התקן לא השתנתה.
תשובה: הממוצע עולה ב-10 (בדיוק כמו הקבוע שהוסף), וסטיית התקן נשארת ללא שינוי - כי הוספת קבוע לא משנה את המרחקים בין הנתונים.
לזכירה
- ממוצע: x̄ = (סכום הערכים)/(מספר הערכים) - מציין את מרכז הנתונים.
- סטיית תקן: √[Σ(xᵢ-x̄)²/n] - מודדת כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע.
- ככל שסטיית התקן גדולה יותר, הנתונים מפוזרים יותר; סטיית תקן 0 אומרת שכל הערכים זהים.
- שתי קבוצות יכולות להיות בעלות אותו ממוצע וסטיות תקן שונות מאוד - הממוצע לבדו לא מספיק כדי לתאר נתונים.
- הוספת קבוע לכל הנתונים מזיזה את הממוצע באותו קבוע, אך לא משנה את סטיית התקן.