לומדי

הסתברות: מושגים בסיסיים, חישובי הסתברות בהקשר של שכיחות יחסית, תוצאה משלימה.

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! החדשות הטובות: אם אתם יודעים לספור, אתם יודעים לחשב הסתברות קלאסית. השאלה תמיד מתחלקת לשני שלבים: כמה תוצאות אפשריות יש בסך הכול, וכמה מהן "טובות" בשבילי (מתאימות למה שאני מחפש)? ואז פשוט: הסתברות = (מספר התוצאות הטובות) חלקי (מספר כל התוצאות האפשריות) - אבל רק כשכל התוצאות באמת סימטריות, בלי שום סיבה להעדיף אחת על פני אחרת! ואם קשה לכם לחשב ישירות, נסו לחשב את ה"הפכי" (המשלים) ולהחסיר מ-1.

הסתברות: הרחבה על מה שלמדנו בכיתה ז'

בכיתה ז' למדתם להעריך הסתברות מתוך שכיחות יחסית של תוצאות שכבר נצפו. עכשיו נוסיף דרך נוספת לחשב הסתברות - במצבים שבהם אפשר לדעת מראש, בלי לבצע אף ניסוי, שכל התוצאות האפשריות "הוגנות" באותה מידה. הסתברות היא עדיין תמיד מספר בין 0 ל-1, המבטא את מידת ההיתכנות של תוצאה.

עקרון הסימטריה וההגדרה הקלאסית של הסתברות

עקרון הסימטריה הוא הבסיס להגדרה הקלאסית של הסתברות: כאשר אין שום סיבה פיזיקלית או גיאומטרית להעדיף תוצאה אחת על פני אחרת (למשל, כל הפאות של קובייה רגילה זהות בצורתן ובגודלן), מניחים שההסתברויות של כל התוצאות שוות. אם יש n תוצאות אפשריות, זרות (לא חופפות) וממצות (מכסות את כל האפשרויות), והסימטריה ביניהן ברורה וניכרת לעין - ההסתברות לכל אחת מהן היא 1 חלקי n.

חישוב הסתברות לתוצאה המורכבת מכמה תוצאות פשוטות

אם התוצאה שמעניינת אותנו מורכבת מ-k תוצאות פשוטות (מתוך n התוצאות הפשוטות הסימטריות), ההסתברות שהיא תתקבל היא k חלקי n. למשל, בקובייה רגילה (n=6 תוצאות סימטריות), ההסתברות לקבל "מספר זוגי" (k=3 תוצאות: 2,4,6) היא 3/6=1/2. תמיד בודקים תחילה: כמה תוצאות פשוטות סימטריות יש בסך הכול (n), וכמה מהן "מתאימות" לתוצאה שמעניינת אותנו (k).

תוצאה משלימה

התוצאה המשלימה של תוצאה מסוימת כוללת את כל מה שיכול לקרות מלבד אותה תוצאה עצמה - למשל, המשלימה של "ירד גשם" היא "לא ירד גשם". סכום ההסתברות של תוצאה עם ההסתברות של התוצאה המשלימה שלה הוא תמיד בדיוק 1. זו דרך שימושית לחשב הסתברות: אם קל יותר לחשב את ההסתברות של המשלימה, אפשר לחשב אותה ואז להחסיר מ-1 כדי לקבל את מה שבאמת רצינו.

כשתוצאה מתפצלת לתת-תוצאות זרות

אם תוצאה מתפצלת לכמה תת-תוצאות שאינן חופפות זו לזו (זרות), ההסתברות של התוצאה כולה היא סכום ההסתברויות של כל תת-התוצאות. למשל, ההסתברות "לקבל 2 או לקבל 5" בקובייה רגילה היא הסתברות "לקבל 2" ועוד הסתברות "לקבל 5": 1/6+1/6=2/6=1/3 (וזה אכן תואם ישירות לחישוב הישיר: k=2 תוצאות מתוך n=6).

דוגמאות פתורות

מטילים קובייה רגילה (הפאות 1 עד 6, סימטריות לגמרי). מהי ההסתברות לקבל מספר גדול מ-4?

  1. סופרים כמה תוצאות אפשריות יש בסך הכול: הפאות 1,2,3,4,5,6 - סימטריות זו לזו, ולכן n=6.
  2. מזהים אילו תוצאות "מתאימות" (מספר גדול מ-4): 5 ו-6 - שתי תוצאות, כלומר k=2.
  3. מחשבים את ההסתברות: k/n = 2/6 = 1/3.

תשובה: ההסתברות לקבל מספר גדול מ-4 היא 2/6 = 1/3.

בשקית יש 15 כדורים בגודל ובמשקל זהים (כך שיש סימטריה מלאה בהוצאת כל כדור): 6 אדומים, 4 כחולים ו-5 ירוקים. א. מהי ההסתברות להוציא כדור ירוק? ב. מהי ההסתברות שלא להוציא כדור ירוק (התוצאה המשלימה), וחשבו אותה בשתי דרכים.

  1. סעיף א: יש 15 כדורים בסך הכול (n=15), ומתוכם 5 ירוקים (k=5). ההסתברות להוציא ירוק: 5/15 = 1/3.
  2. סעיף ב, דרך 1 (ישירות): "לא ירוק" פירושו אדום או כחול - יחד 6+4=10 כדורים מתוך 15. הסתברות: 10/15 = 2/3.
  3. סעיף ב, דרך 2 (באמצעות תוצאה משלימה): סכום ההסתברות של תוצאה ושל המשלימה שלה הוא תמיד 1. לכן: הסתברות(לא ירוק) = 1 - הסתברות(ירוק) = 1 - 1/3 = 2/3.
  4. שתי הדרכים נתנו בדיוק אותה תוצאה, 2/3 - כפי שצריך להיות.

תשובה: א. ההסתברות להוציא כדור ירוק היא 1/3. ב. ההסתברות שלא להוציא ירוק היא 2/3, בין אם מחשבים ישירות (10/15) ובין אם משתמשים בתוצאה המשלימה (1-1/3).

תרגול

1. מטילים קובייה רגילה (1 עד 6). מהי ההסתברות לקבל מספר זוגי?תרגול
  1. סך כל התוצאות: n=6.
  2. המספרים הזוגיים מתוך 1-6 הם 2,4,6 - כלומר k=3.
  3. ההסתברות: k/n = 3/6 = 1/2.

תשובה: ההסתברות לקבל מספר זוגי היא 1/2.

2. גלגל מזל מחולק ל-8 מקטעים שווים בגודלם, ממוספרים 1 עד 8. מהי ההסתברות שהגלגל יעצור על מספר שמתחלק ב-3?תרגול
  1. סך כל התוצאות (מקטעים סימטריים): n=8.
  2. המספרים בין 1 ל-8 שמתחלקים ב-3: 3 ו-6 - כלומר k=2.
  3. ההסתברות: k/n = 2/8 = 1/4.

תשובה: ההסתברות היא 2/8 = 1/4.

3. ידוע שההסתברות לגשם מחר היא 0.35. מהי ההסתברות שלא ירד גשם מחר?תרגול
  1. "לא ירד גשם" היא התוצאה המשלימה של "ירד גשם".
  2. סכום ההסתברות של תוצאה והמשלימה שלה הוא תמיד 1.
  3. לכן: הסתברות(לא גשם) = 1 - 0.35 = 0.65.

תשובה: ההסתברות שלא ירד גשם היא 0.65.

4. במגירה יש 30 עטים זהים בגודלם ובצורתם: כחולים, אדומים וירוקים. ההסתברות לבחור עט כחול באקראי היא 1/5, ומספר העטים האדומים כפול ממספר העטים הכחולים. כמה עטים ירוקים יש במגירה?שאלה בהקשר
  1. מספר העטים הכחולים: 1/5 מתוך 30 = 30×(1/5) = 6.
  2. מספר העטים האדומים הוא כפול ממספר הכחולים: 2×6 = 12.
  3. מספר העטים הירוקים הוא מה שנשאר מתוך ה-30: 30-6-12 = 12.

תשובה: יש 12 עטים ירוקים במגירה.

5. בטבלה שלוש ערים עם ההסתברות לגשם ביום מסוים: עיר א' - 0.05, עיר ב' - 0.6, עיר ג' - 0.95. א. באיזו עיר ה"יום היבש" (אין גשם) הכי סביר? ב. מהי ההסתברות שלא ירד גשם בעיר ג', וכיצד היא מסתדרת עם התיאור "כמעט ודאי שירד גשם שם"?שאלה בהקשר
  1. סעיף א: ככל שההסתברות לגשם קטנה יותר, כך יום יבש סביר יותר. ההסתברות הקטנה ביותר היא בעיר א' (0.05), ולכן שם הכי סביר שיהיה יום יבש.
  2. סעיף ב: הסתברות(לא גשם בעיר ג') = 1 - 0.95 = 0.05, לפי תכונת התוצאה המשלימה.
  3. 0.95 קרוב מאוד ל-1, כלומר "כמעט ודאי" שירד גשם בעיר ג' - וכפועל יוצא, ההסתברות שלא ירד (0.05) קרובה מאוד ל-0, כלומר כמעט בלתי אפשרי שלא ירד גשם שם. שתי הדרכים לתאר את המצב מתאימות זו לזו.

תשובה: א. בעיר א' (הסתברות לגשם 0.05) הכי סביר שיהיה יום יבש. ב. ההסתברות שלא ירד גשם בעיר ג' היא 0.05 - נמוכה מאוד, בהתאמה לכך שכמעט ודאי שכן ירד גשם שם.

6. גלגל מזל מחולק ל-10 מקטעים שווים, ממוספרים 1 עד 10. התוצאה "A" מוגדרת כך: מתקבל מספר זוגי, או שמתקבל בדיוק המספר 7. מהי ההסתברות לתוצאה A? (שימו לב: אלה שתי אפשרויות שאינן חופפות זו לזו.)שאלה בהקשר
  1. מספרים זוגיים בין 1 ל-10: 2,4,6,8,10 - חמש תוצאות, הסתברות 5/10.
  2. המספר 7 הוא תוצאה נוספת, ואינה חופפת לקבוצת הזוגיים (7 הוא אי-זוגי) - תוצאה אחת נוספת, הסתברות 1/10.
  3. מכיוון ששתי הקבוצות זרות (אין חפיפה), מחברים את ההסתברויות: 5/10 + 1/10 = 6/10 = 3/5.

תשובה: ההסתברות לתוצאה A היא 6/10 = 3/5.

לזכירה

  • כשכל התוצאות סימטריות ואין סיבה להעדיף אחת על פני אחרת, אם יש n תוצאות פשוטות כאלה, ההסתברות לכל אחת היא 1/n.
  • אם תוצאה מורכבת מ-k תוצאות פשוטות סימטריות מתוך n, ההסתברות שהיא תתקבל היא k/n.
  • התוצאה המשלימה של תוצאה מסוימת כוללת את כל מה שיכול לקרות חוץ ממנה; סכום ההסתברות של תוצאה והמשלימה שלה הוא תמיד 1.
  • כשקשה לחשב הסתברות ישירות, אפשר לפעמים לחשב את הסתברות המשלימה ולהחסיר מ-1.
  • אם תוצאה מתפצלת לתת-תוצאות זרות (לא חופפות), ההסתברות שלה היא סכום ההסתברויות של תתי-התוצאות.
הקודםסטטיסטיקה – טווח נתונים ומדדי מרכז (שכיח, חציון וממוצע)הבאסטטיסטיקה: אינטרפולציה על סמך ניתוח נתונים כמותיים