סטטיסטיקה: אקסטרפולציה על סמך ניתוח נתונים כמותיים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אקסטרפולציה היא כמו לנחש מה יקרה בהמשך הסיפור, על סמך איך שהוא התנהל עד עכשיו. השיטה זהה בדיוק לאינטרפולציה - מוצאים קצב שינוי וממשיכים איתו - אבל הפעם אתם "יוצאים" מהתחום הידוע, ולא נשארים בתוכו. בגלל זה תמיד כדאי להיות קצת חשדנים: ככל שאתם מתרחקים יותר מהנתונים שבאמת יש לכם, כך גדל הסיכוי שמשהו בלתי צפוי ישנה את המגמה - אז תמיד שאלו את עצמכם, האם יש סיבה טובה להאמין שהמגמה תימשך?
מהי אקסטרפולציה?
אקסטרפולציה היא חיזוי או הערכה של נתונים מחוץ לתחום שנמדד - כלומר, מעבר לנתונים הידועים, על בסיס המגמה (העלייה, הירידה או היציבות) שנראית בטבלה או בגרף. בניגוד לאינטרפולציה (שמעריכה ערך בתוך התחום הידוע), אקסטרפולציה מעריכה ערך שנמצא מחוץ לתחום - לפני הנתון הראשון הידוע, או אחרי הנתון האחרון הידוע.
שיטה: אלגברה של קו ישר
כשהגרף של הנתונים הידועים קרוב לקו ישר, אפשר לחשב אקסטרפולציה באותה שיטה שלמדנו באינטרפולציה: מחשבים את קצב השינוי בין שתי נקודות ידועות (בדרך כלל האחרונות, אם מעריכים קדימה, או הראשונות, אם מעריכים אחורה), ואז ממשיכים באותו קצב שינוי אל מעבר לתחום הידוע - מוסיפים (או מחסירים) את קצב השינוי כפול המרחק בין הנקודה הידועה לנקודה המבוקשת.
מתי אקסטרפולציה אמינה
אקסטרפולציה אמינה יותר כאשר יש סיבה טובה להאמין שהמגמה שנצפתה בתוך הנתונים הידועים תימשך גם מחוצה להם. חשוב לבדוק שהחריגה מתחום הנתונים אינה חוצה נקודה שבה המגמה צפויה להשתנות - למשל, קצב הגדילה בגובה של ילד עד גיל 10 לא נמשך באותו קצב עד גיל 30 (בגיל מסוים הגדילה נעצרת). ככל שהערך המבוקש רחוק יותר מהנתונים הידועים, ההערכה פחות מדויקת - כי יש יותר "מקום" למשהו לא צפוי לקרות בדרך.
אקסטרפולציה היא הערכה, לא ודאות
חשוב לזכור תמיד שאקסטרפולציה היא הערכה בלבד, ולא תוצאה ודאית - ולכן חיזוי שמבוסס עליה חייב להתבסס על ניתוח המגמה, ולא להיות ניחוש אקראי. כשמציגים תוצאה של אקסטרפולציה, כדאי גם לציין באיזו מידה סומכים עליה, ולהיות מוכנים להסביר מה עלול לגרום לתחזית לא להתממש (למשל: שינוי בהרגלי צרכנים, עונתיות, אירוע חריג).
אינטרפולציה מול אקסטרפולציה
שני השמות דומים אך ההבדל ביניהם קריטי: אינטרפולציה מעריכה ערך בתוך תחום הנתונים הידוע ("בין" נקודות ידועות), בעוד אקסטרפולציה מעריכה ערך מחוץ לתחום הנתונים הידוע ("מעבר" לנקודות הידועות). שתיהן משתמשות באותה שיטת חישוב (אלגברה של קו ישר), אבל אקסטרפולציה בדרך כלל פחות מהימנה, כי אין לנו שום נתון ישיר שמאשר שהמגמה אכן נמשכת מעבר לתחום שכבר נמדד.
דוגמאות פתורות
מספר הכרטיסים המצטבר שנמכרו לפסטיבל מוזיקה נמדד: 10:00 - 50 כרטיסים, 12:00 - 130 כרטיסים, 14:00 - 210 כרטיסים. אם המגמה נמשכת באותו קצב, כמה כרטיסים צפויים להימכר עד השעה 16:00?
- בודקים שהקצב אחיד בנתונים הידועים: מ-10:00 ל-12:00 נמכרו 130-50=80 כרטיסים בשעתיים (40 לשעה). מ-12:00 ל-14:00 נמכרו 210-130=80 כרטיסים בשעתיים (גם 40 לשעה) - הקצב אכן עקבי, 40 כרטיסים לשעה.
- השעה 16:00 היא שעתיים אחרי הנקודה הידועה האחרונה (14:00), ולכן אנחנו מבצעים אקסטרפולציה (חוזים מעבר לתחום הידוע).
- מחשבים: מספר כרטיסים ב-16:00 = 210 + 40×2 = 210+80 = 290.
- חשוב לזכור: זו הערכה שמניחה שהמגמה תימשך באותו קצב - יכול להיות שבפועל יימכרו פחות (למשל אם נגמרים כרטיסים) או יותר (אם יש מבצע חדש).
תשובה: לפי המגמה, עד השעה 16:00 צפויים להימכר בערך 290 כרטיסים - אך זו הערכה בלבד, לא ודאות.
גובהו של ילד נמדד: בגיל 2 - 85 ס"מ, בגיל 10 - 140 ס"מ (עלייה שנראית כמעט ליניארית בתקופה הזו). אם היינו (בטעות!) ממשיכים את אותה מגמה עד גיל 30, איזה גובה היינו מקבלים? מדוע התחזית הזו אינה אמינה?
- מחשבים את קצב הגדילה הממוצע בתקופה הידועה: (140-85) חלקי (10-2) = 55/8 = 6.875 ס"מ לשנה.
- גיל 30 הוא 28 שנים אחרי גיל 2, ולכן לפי אותה מגמה: גובה בגיל 30 = 85 + 6.875×28 = 85+192.5 = 277.5 ס"מ.
- התוצאה 277.5 ס"מ אינה סבירה בעליל לגובה אדם - זו הוכחה לכך שהמגמה הליניארית שראינו מגיל 2 עד 10 בהחלט אינה נמשכת עד גיל 30, כי בפועל הגדילה מאטה ונעצרת בגיל מסוים.
- זו דוגמה מדויקת לסכנה שבאקסטרפולציה רחוקה מדי מהתחום הידוע: ככל שמתרחקים יותר, גדל הסיכוי שהמגמה כבר לא תקפה.
תשובה: לפי חישוב ליניארי (שגוי) - 277.5 ס"מ. התחזית אינה אמינה כי הגדילה בגובה של אדם אינה נמשכת בקצב קבוע לכל החיים - היא מאטה ונעצרת, כך שהאקסטרפולציה הרחוקה הזו סותרת ידע בסיסי על גדילת אדם.
תרגול
1. מכונית נוסעת במהירות קבועה: בשעה 1 היא נסעה 60 ק"מ, בשעה 2 - 120 ק"מ. לפי אותה מגמה, כמה ק"מ צפויה המכונית לנסוע עד שעה 4?תרגול
- מחשבים קצב שינוי: (120-60) חלקי (2-1) = 60 ק"מ לשעה.
- שעה 4 היא שעתיים אחרי שעה 2 (הנקודה הידועה האחרונה) - זו אקסטרפולציה קדימה.
- מרחק בשעה 4 = 120 + 60×2 = 120+120 = 240 ק"מ.
תשובה: לפי המגמה, עד שעה 4 המכונית צפויה לנסוע 240 ק"מ.
2. גובה שתיל נמדד: ביום 5 - 20 ס"מ, ביום 8 - 32 ס"מ (גידול ליניארי). אם אותה מגמה הייתה נכונה גם לפני היום החמישי, מה היה גובה השתיל ביום 2 (אקסטרפולציה אחורה)?תרגול
- מחשבים קצב שינוי: (32-20) חלקי (8-5) = 12/3 = 4 ס"מ ליום.
- יום 2 הוא 3 ימים לפני יום 5 (הנקודה הידועה הראשונה) - זו אקסטרפולציה אחורה, לפני התחום הידוע.
- גובה ביום 2 = 20 - 4×3 = 20-12 = 8 ס"מ.
תשובה: לפי המגמה, גובה השתיל ביום 2 היה 8 ס"מ.
3. קבעו האם כל אחד מהמצבים הבאים הוא אינטרפולציה או אקסטרפולציה: א. יודעים את הטמפרטורה ב-8:00 וב-12:00, ורוצים להעריך את הטמפרטורה ב-10:00. ב. יודעים את מכירות החנות בינואר ובפברואר, ורוצים להעריך את מכירות מרץ.תרגול
- סעיף א: השעה 10:00 נמצאת בין שתי הנקודות הידועות (8:00 ו-12:00), בתוך התחום - זו אינטרפולציה.
- סעיף ב: מרץ מגיע אחרי שתי הנקודות הידועות (ינואר ופברואר), מחוץ לתחום שכבר יש עליו נתונים - זו אקסטרפולציה.
תשובה: א. אינטרפולציה (10:00 בתוך התחום שבין 8:00 ל-12:00). ב. אקסטרפולציה (מרץ מחוץ לתחום הידוע, אחרי ינואר-פברואר).
4. מספר הצופים בערוץ יוטיוב עלה בהתמדה ביולי: בתחילת החודש 1,000 צופים, בסופו 4,000 צופים (עלייה כמעט ליניארית). מנהל הערוץ רוצה לחזות את מספר הצופים בסוף דצמבר לפי אותה מגמה בדיוק. האם זו אקסטרפולציה אמינה? נמקו לפחות שתי סיבות אפשריות לכך שהתחזית עלולה לא להתממש.שאלה בהקשר
- זו בהחלט אקסטרפולציה, כי דצמבר רחוק מאוד מהתחום הידוע (יולי בלבד) - וזו אקסטרפולציה לא אמינה, כי היא מרחיקה חמישה חודשים קדימה על סמך מגמה שנצפתה בחודש אחד בלבד.
- סיבה ראשונה: עלייה חדה בצפיות בחודש אחד (למשל בגלל סרטון ויראלי) לא בהכרח נמשכת באותו קצב לאורך זמן - קצב הגידול עשוי להאט.
- סיבה שנייה: יכולים להיות גורמים עונתיים (למשל יותר פנאי לצפייה בקיץ מאשר בחורף) שישנו את המגמה לגמרי בחודשים אחרים.
תשובה: לא, זו אקסטרפולציה לא אמינה - חמישה חודשים היא הרחקה גדולה מדי מנתון חודש אחד בלבד. שתי סיבות אפשריות: קצב הצמיחה עלול להאט עם הזמן (למשל אם העלייה נבעה מאירוע חד-פעמי), וייתכנו גורמים עונתיים שישנו את מספר הצופים בחודשי החורף.
5. מפעל מייצר מוצרים בקצב קבוע: בשעה הראשונה יוצרו 45 מוצרים, ועד השעה השלישית סך הכול יוצרו 135 מוצרים. א. מהו קצב הייצור לשעה? ב. אם הקצב נשמר, כמה מוצרים צפויים להיות מיוצרים בסך הכול עד השעה החמישית?שאלה בהקשר
- סעיף א: משעה 1 (45 מוצרים) עד שעה 3 (135 מוצרים) יוצרו 135-45=90 מוצרים נוספים תוך שעתיים, כלומר קצב של 90/2=45 מוצרים לשעה.
- סעיף ב: שעה 5 היא שעתיים אחרי שעה 3 (הנקודה הידועה האחרונה) - זו אקסטרפולציה.
- סך המוצרים עד שעה 5 = 135 + 45×2 = 135+90 = 225.
תשובה: א. קצב הייצור הוא 45 מוצרים לשעה. ב. עד שעה 5 צפויים להיות מיוצרים בסך הכול 225 מוצרים.
6. מחיר מניה עלה בהתמדה בשלושת החודשים האחרונים: מ-80 ש"ח ל-110 ש"ח (עלייה כמעט ליניארית). משקיע טוען: "אם אמשיך את הקו הזה, בעוד שנתיים המניה תהיה שווה מעל 1000 ש"ח - כדאי לקנות עכשיו כמה שיותר!" הסבירו למה זו אקסטרפולציה מסוכנת, גם בלי לחשב את המספר המדויק.שאלה בהקשר
- שלושה חודשים של נתונים הם תקופה קצרה מאוד ביחס להרחקה המבוקשת (שנתיים = 24 חודשים) - זו אקסטרפולציה רחוקה מאוד מהתחום הידוע, ולכן פחות אמינה.
- מגמות במחירי מניות משתנות כל הזמן בגלל גורמים כלכליים, חדשות ואירועים בלתי צפויים - אין שום סיבה להניח שקצב עלייה של שלושה חודשים ימשיך באופן ליניארי וקבוע במשך שנתיים שלמות.
- בניגוד לדוגמה של ילד שגדל (שיש עליה ידע ביולוגי כללי גם ללא הנתונים), כאן אין שום עיקרון שמבטיח שהמגמה תימשך - ולכן ההערכה של המשקיע היא ניחוש נמרץ ולא חיזוי מבוסס.
תשובה: זו אקסטרפולציה מסוכנת כי ההרחקה (שנתיים) גדולה בהרבה מתקופת הנתונים הידועה (שלושה חודשים), ואין שום סיבה כלכלית מוצקה להניח שהמגמה תימשך ללא שינוי לאורך זמן כה רב.
לזכירה
- אקסטרפולציה מעריכה ערך מחוץ לתחום הנתונים הידוע (לפני הנתון הראשון או אחרי הנתון האחרון), בהתבסס על המגמה שנצפתה בתוך התחום הידוע.
- השיטה זהה לאינטרפולציה: מחשבים קצב שינוי בין שתי נקודות ידועות, וממשיכים באותו קצב אל מעבר לתחום.
- אקסטרפולציה אמינה יותר כשיש סיבה טובה להניח שהמגמה תימשך, וכשהערך המבוקש לא רחוק מדי מהנתונים הידועים.
- ככל שמתרחקים יותר מהתחום הידוע, ההערכה פחות מדויקת - ולכן חשוב תמיד לציין שזו הערכה, לא ודאות, ולשקול מה עלול לשנות את המגמה.
- ההבדל בין אינטרפולציה לאקסטרפולציה: אינטרפולציה מעריכה בתוך התחום הידוע, אקסטרפולציה מעריכה מחוצה לו.