יחס, פרופורציה וקנה מידה
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! בואו נחשוב על יחס כמו על מתכון: אם כתוב "לכל 2 כוסות קמח - כוס אחת סוכר", זה בדיוק יחס של 2:1, ולא משנה אם מכינים עוגה קטנה או ענקית - היחס בין הקמח לסוכר נשאר אותו דבר. פרופורציה היא פשוט הדרך שלנו לכתוב במשפט מתמטי ש"שני יחסים שווים", וקנה מידה על מפה הוא בדיוק אותו רעיון - כל סנטימטר קטן על הנייר "מבטיח" לנו כמות מסוימת של מטרים או קילומטרים במציאות. אם מתבלבלים, תמיד אפשר לחזור לשאלה הפשוטה: "על כל כמות מסוימת מהדבר הראשון, כמה יש מהדבר השני?" - זה כל הסוד, ואתם כבר כמעט שם.
מהו יחס?
יחס הוא דרך להשוות בין שני גדלים (או יותר) ולומר כמה פעמים אחד גדול מהשני, בלי להתייחס למספרים המוחלטים אלא רק לקשר ביניהם. רושמים יחס בין a ל-b כך: a:b (קוראים "a יחס ל-b"), ולפעמים גם כשבר a/b. לדוגמה, אם בקבוצת כדורגל יש 8 שחקני התקפה ו-4 שחקני הגנה, היחס בין התקפה להגנה הוא 8:4, ואפשר לפשט אותו - בדיוק כמו שבר - לצורה הפשוטה ביותר 2:1. חשוב לזכור: כשמשווים שני גדלים מאותו סוג (למשל שני אורכים, או שני משקלים), שניהם חייבים להיות באותה יחידת מידה.
יחס בין כמה גדלים ופישוט יחס
יחס יכול לכלול גם יותר משני גדלים, למשל היחס בין אורכי שלוש צלעות של משולש יכול להיות 3:4:5. גם יחס כזה מפשטים על ידי חלוקה של כל האיברים באותו מספר - המחלק המשותף הגדול ביותר של כולם. לדוגמה, את היחס 6:9:15 אפשר לחלק ב-3 ולקבל את היחס הפשוט 2:3:5. יחס בצורתו הפשוטה קל יותר להשוואה ולהבנה, בדיוק כמו שבר מצומצם.
פרופורציה - יחס ששווה ליחס
פרופורציה היא משפט שאומר ששני יחסים שווים זה לזה, למשל 2:3 = 4:6 (ואכן, אם מפשטים את 4:6 מקבלים 2:3). כשיש פרופורציה עם גורם לא ידוע, כמו a/b = c/x, אפשר למצוא את הגורם החסר בעזרת "כפל צולב": מכפילים אלכסונית ומקבלים a×x = b×c, ומשם פותרים משוואה רגילה כדי למצוא את x. השיטה עובדת מפני ששני שברים ששווים זה לזה מקיימים תמיד את הכלל הזה.
חלוקת גודל נתון לפי יחס
לפעמים נותנים לנו יחס וסכום כולל, ומבקשים לחלק את הסכום בדיוק לפי אותו יחס - למשל לחלק רווח בין שותפים לפי יחס ההשקעה שלהם. הדרך לעשות זאת: קודם מחברים את כל חלקי היחס יחד ומקבלים כמה "חלקים" יש בסך הכול; אחר כך מחלקים את הסכום הכולל במספר החלקים ומקבלים כמה שווה "חלק אחד"; ולבסוף מכפילים כל מספר ביחס בגודל של חלק אחד. השיטה הזו שקולה למעשה לפתרון פרופורציה, רק מסודרת בצורה נוחה לחלוקה בין כמה גורמים.
קנה מידה - יחס מיוחד במפות ובשרטוטים
קנה מידה הוא יחס מיוחד שמשווה בין מרחק המצויר על מפה, תרשים או שרטוט לבין המרחק האמיתי בעולם. קנה מידה 1:50,000 אומר שכל יחידת אורך אחת על המפה (למשל ס"מ) מייצגת 50,000 יחידות מאותו סוג במציאות (כלומר 50,000 ס"מ). כדי למצוא מרחק אמיתי מכפילים את המרחק על המפה בגורם קנה המידה, וכדי למצוא את המרחק על המפה מחלקים את המרחק האמיתי באותו גורם. חשוב לשים לב להמרת יחידות בסוף החישוב, למשל מסנטימטרים לקילומטרים.
דוגמאות פתורות
בכיתה ח' יש 12 בנים ו-18 בנות. מהו היחס בין מספר הבנים למספר הבנות, בצורה הפשוטה ביותר?
- נכתוב את היחס כפי שהוא נתון: בנים : בנות = 12:18.
- נמצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של 12 ו-18 - הוא 6.
- נחלק את שני אגפי היחס ב-6: 12÷6=2, 18÷6=3.
- היחס הפשוט ביותר הוא 2:3.
תשובה: היחס בין בנים לבנות הוא 2:3 (על כל 2 בנים יש 3 בנות).
מתכון לעוגה מיועד ל-4 סועדים ודורש 3 כוסות קמח. רוצים להכין את אותה עוגה ל-10 סועדים, באותו יחס בין קמח לסועדים. כמה כוסות קמח דרושות?
- היחס בין כמות הקמח למספר הסועדים נשאר קבוע, ולכן נבנה פרופורציה: 3 כוסות ל-4 סועדים = x כוסות ל-10 סועדים, כלומר 3/4 = x/10.
- נשתמש בכפל צולב: 3×10 = 4×x, כלומר 30 = 4x.
- נחלק את שני האגפים ב-4: x = 30÷4 = 7.5.
תשובה: דרושות 7.5 כוסות קמח.
שלושה שותפים חילקו רווח של 3000 ₪ ביניהם לפי יחס ההשקעה שלהם, שהוא 2:3:5. כמה כסף מקבל כל שותף?
- נחבר את חלקי היחס כדי לדעת כמה "חלקים" יש בסך הכול: 2+3+5=10 חלקים.
- נמצא כמה שווה חלק אחד: 3000 ₪ ÷ 10 = 300 ₪ לחלק.
- השותף הראשון מקבל 2 חלקים: 2×300 = 600 ₪.
- השותף השני מקבל 3 חלקים: 3×300 = 900 ₪.
- השותף השלישי מקבל 5 חלקים: 5×300 = 1500 ₪.
- בדיקה: 600+900+1500 = 3000 ₪ - תואם לסכום המקורי.
תשובה: השותפים מקבלים 600 ₪, 900 ₪ ו-1500 ₪ בהתאמה.
קנה המידה של מפה הוא 1:50,000. המרחק בין שני יישובים על המפה נמדד ב-4 ס"מ. מהו המרחק האמיתי בין היישובים, בקילומטרים?
- קנה מידה 1:50,000 אומר שכל ס"מ אחד על המפה מייצג 50,000 ס"מ במציאות.
- נכפול את המרחק על המפה בגורם קנה המידה: 4 ס"מ × 50,000 = 200,000 ס"מ במציאות.
- נמיר סנטימטרים למטרים: 200,000 ÷ 100 = 2,000 מטר.
- נמיר מטרים לקילומטרים: 2,000 ÷ 1,000 = 2 ק"מ.
תשובה: המרחק האמיתי בין היישובים הוא 2 ק"מ.
תרגול
1. פשטו את היחס 15:25 לצורתו הפשוטה ביותר.תרגול
- נמצא את המחלק המשותף הגדול ביותר של 15 ו-25 - הוא 5.
- נחלק את שני אגפי היחס ב-5: 15÷5=3, 25÷5=5.
תשובה: היחס הפשוט ביותר הוא 3:5.
2. פתרו את הפרופורציה: 5/8 = x/40. מצאו את x.תרגול
- נשתמש בכפל צולב: 5×40 = 8×x.
- נחשב את הצד השמאלי: 200 = 8x.
- נחלק ב-8: x = 200÷8 = 25.
תשובה: x = 25.
3. היחס בין אורך לרוחב של מלבן הוא 3:2. אם הרוחב הוא 10 ס"מ, מהו אורך המלבן?תרגול
- נבנה פרופורציה לפי היחס הנתון: אורך/רוחב = 3/2 = L/10.
- נשתמש בכפל צולב: 3×10 = 2×L, כלומר 30 = 2L.
- נחלק ב-2: L = 30÷2 = 15.
תשובה: אורך המלבן הוא 15 ס"מ.
4. כתבו את היחס בין 2 ק"ג ל-500 גרם כיחס בין שני מספרים שלמים, בצורה הפשוטה ביותר (שימו לב להמרת יחידות).תרגול
- נמיר את שני הגדלים לאותה יחידה: 2 ק"ג = 2000 גרם.
- נכתוב את היחס: 2000:500.
- נמצא מחלק משותף - 500 - ונחלק בו את שני האגפים: 2000÷500=4, 500÷500=1.
תשובה: היחס הפשוט ביותר הוא 4:1.
5. בכיתה יש 30 תלמידים. היחס בין בנים לבנות הוא 2:3. כמה בנים וכמה בנות יש בכיתה?שאלה בהקשר
- נחבר את חלקי היחס: 2+3=5 חלקים בסך הכול.
- נמצא כמה שווה חלק אחד: 30 תלמידים ÷ 5 = 6 תלמידים לחלק.
- מספר הבנים: 2×6=12. מספר הבנות: 3×6=18.
- בדיקה: 12+18=30, ותואם למספר התלמידים הכולל.
תשובה: בכיתה יש 12 בנים ו-18 בנות.
6. מתכון ל-3 מנות דורש 2 כפות שמן. כמה כפות שמן דרושות כדי להכין 9 מנות, באותו יחס?שאלה בהקשר
- נבנה פרופורציה: 2 כפות ל-3 מנות = x כפות ל-9 מנות, כלומר 2/3 = x/9.
- נשתמש בכפל צולב: 2×9 = 3×x, כלומר 18 = 3x.
- נחלק ב-3: x = 18÷3 = 6.
תשובה: דרושות 6 כפות שמן.
7. על מפה שקנה המידה שלה הוא 1:200,000, המרחק בין שני כפרים הוא 3.5 ס"מ. מהו המרחק האמיתי ביניהם, בקילומטרים?שאלה בהקשר
- קנה מידה 1:200,000 אומר שכל ס"מ במפה מייצג 200,000 ס"מ במציאות.
- נכפול את המרחק על המפה בגורם קנה המידה: 3.5 × 200,000 = 700,000 ס"מ.
- נמיר סנטימטרים למטרים: 700,000 ÷ 100 = 7,000 מטר.
- נמיר מטרים לקילומטרים: 7,000 ÷ 1,000 = 7 ק"מ.
תשובה: המרחק האמיתי בין הכפרים הוא 7 ק"מ.
8. שני שותפים השקיעו בעסק לפי יחס 3:7, והרוויחו יחד 4000 ₪. כמה כסף מגיע לכל שותף?שאלה בהקשר
- נחבר את חלקי היחס: 3+7=10 חלקים בסך הכול.
- נמצא כמה שווה חלק אחד: 4000 ₪ ÷ 10 = 400 ₪ לחלק.
- שותף ראשון מקבל 3 חלקים: 3×400=1200 ₪.
- שותף שני מקבל 7 חלקים: 7×400=2800 ₪.
- בדיקה: 1200+2800=4000 ₪, תואם לרווח הכולל.
תשובה: שותף אחד מקבל 1200 ₪, והשני מקבל 2800 ₪.
לזכירה
- יחס הוא דרך להשוות בין שני גדלים (או יותר) ולומר כמה פעמים אחד גדול מהשני. מפשטים יחס בדיוק כמו שמפשטים שבר - מחלקים את כל האיברים באותו מספר (המחלק המשותף הגדול ביותר).
- פרופורציה היא משפט שאומר ששני יחסים שווים זה לזה. פותרים פרופורציה עם גורם לא ידוע בעזרת כפל צולב: אם a/b=c/d אז a×d=b×c.
- כדי לחלק גודל נתון לפי יחס: מחברים את כל חלקי היחס, מחלקים את הסכום הכולל במספר החלקים כדי לדעת כמה שווה חלק אחד, ואז מכפילים כל מספר ביחס בגודל של חלק אחד.
- קנה מידה הוא יחס מיוחד בין מרחק על מפה/שרטוט לבין המרחק האמיתי. קנה מידה כמו 1:50,000 אומר שכל יחידת אורך אחת על המפה מייצגת 50,000 יחידות מאותו סוג במציאות.
- כשמשווים שני גדלים מאותו סוג (כמו שני אורכים או שני משקלים), חובה לוודא שהם נמדדים באותה יחידת מידה, ולהמיר יחידות בסוף החישוב אם צריך (למשל מסנטימטרים לקילומטרים).