גאומטריה קדם-היסקית
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אם כל השמות מתבלבלים לך – מתאימות, מתחלפות, חד-צדדיות – הנה טריק פשוט: קודם תמצאו את שתי הזוויות ש'בפנים', ברצועה שבין שני הקווים המקבילים, ואז תבדקו אם הן באותו צד של הקו החותך או בצדדים מנוגדים. אותו צד? הן משלימות ל-180°. צדדים מנוגדים? הן שוות. ובמשולש – זכרו כלל זהב אחד שלא משתנה לעולם: שלוש הזוויות תמיד מסתכמות בדיוק ל-180°, בלי יוצא מן הכלל.
ישרים מקבילים וקו חותך
שני ישרים נקראים מקבילים אם הם לעולם לא נפגשים, לא משנה כמה מרחיקים אותם – בדיוק כמו שני פסי רכבת. נסמן שני ישרים מקבילים כאלה באותיות a ו-b, כש-a למעלה ו-b למטה. ישר שלישי, c, שחותך את שניהם נקרא 'קו חותך', ובכל אחת משתי נקודות החיתוך הוא יוצר 4 זוויות – בסך הכול 8 זוויות. נמספר אותן בכיוון השעון, החל מהזווית הימנית-העליונה: בחיתוך עם a – זוויות 1,2,3,4; בחיתוך עם b, באותו סדר סיבובי – זוויות 5,6,7,8 (כלומר זווית 5 יושבת ב'פינה' המקבילה לזווית 1, וכן הלאה).
שלושה סוגי זוגות של זוויות בין מקבילים
כש-a ו-b מקבילים באמת, יש קשר קבוע בין הזוויות בשתי נקודות החיתוך. זוויות מתאימות הן זוג שנמצא באותה פינה בשתי הנקודות (למשל זווית 1 וזווית 5) – הן תמיד שוות. זוויות מתחלפות הן זוג זוויות פנימיות (בתוך הרצועה שבין a ל-b) שנמצאות בצדדים מנוגדים של קו החותך (למשל זווית 2 וזווית 8) – גם הן שוות זו לזו. זוויות חד-צדדיות הן זוג זוויות פנימיות שנמצאות באותו צד של קו החותך (למשל זווית 2 וזווית 5) – הן לא שוות, אלא משלימות זו את זו ל-180°.
סכום הזוויות במשולש
בכל משולש, סכום שלוש הזוויות הפנימיות שלו הוא תמיד 180° – חד-זוויות, קהה-זוויות, גדול או קטן, זה תמיד נכון. אפשר להבין למה, בעזרת מה שלמדנו על מקבילים: מותחים דרך קודקוד A ישר המקביל לצלע שמולו, BC. שתי הזוויות החדשות שנוצרות משני צדי A שוות (בזוויות מתחלפות) לזוויות B ו-C, ויחד עם זווית A המקורית הן יוצרות ישר שלם – כלומר 180°. לכן זווית A + זווית B + זווית C = 180°. שתי מסקנות שימושיות מכך: במשולש ישר-זווית, סכום שתי הזוויות החדות (מלבד זווית הישר) הוא תמיד 90° בדיוק; ובמשולש קהה-זווית, שתי הזוויות הנותרות (מלבד הזווית הקהה) חייבות להיות חדות, כי סכומן קטן מ-90°.
הזווית החיצונית במשולש
אם מאריכים אחת הצלעות של משולש מעבר לאחד הקודקודים, נוצרת מחוץ למשולש זווית חדשה – 'זווית חיצונית'. לדוגמה, במשולש ABC, אם מאריכים את הצלע BC מעבר לנקודה C עד לנקודה D, הזווית ACD היא הזווית החיצונית בקודקוד C. היא משלימה ל-180° את הזווית הפנימית הסמוכה לה (ACB), כי שתיהן יחד יוצרות את הישר BD. ומכיוון שסכום הזוויות במשולש הוא 180°, יוצא שהזווית החיצונית שווה בדיוק לסכום שתי הזוויות הפנימיות הרחוקות ממנה: זווית ACD = זווית A + זווית B.
צלעות המשולש ותיכון במשולש
לא כל שלושה אורכים יכולים ליצור משולש: כדי לבנות משולש, סכום האורכים של כל שתיים מהצלעות חייב להיות גדול מהאורך של הצלע השלישית (למשל, מקלות באורך 3, 4 ו-9 ס"מ לא יכולים ליצור משולש, כי 3+4=7 קטן מ-9). זה נקרא 'אי-שוויון המשולש'. תיכון במשולש הוא קטע שמחבר קודקוד אחד עם אמצע הצלע שממול לו; לכל משולש יש בדיוק שלושה תיכונים – אחד מכל קודקוד. לתיכון יש תכונה חשובה: הוא מחלק את המשולש לשני משולשים ששטחיהם שווים. הסיבה: שני המשולשים הקטנים חולקים את אותו גובה (המרחק מהקודקוד אל הישר שעליו נמצאת הצלע), ובסיסיהם – שני חלקי הצלע שנוצרו – שווים באורכם, בדיוק כי הנקודה שאליה מגיע התיכון היא אמצע הצלע. שני משולשים עם אותו בסיס ואותו גובה שווים בשטחם.
דוגמאות פתורות
קו c חותך שני ישרים מקבילים: a למעלה ו-b למטה. בכל נקודת חיתוך יש 4 זוויות, וממספרים אותן בכיוון השעון החל מהזווית הימנית-העליונה: בחיתוך עם a – זוויות 1,2,3,4; בחיתוך עם b, באותו סדר – זוויות 5,6,7,8 (זווית 5 מול זווית 1, וכן הלאה). נתון שזווית 1 = 70°. מצאו את כל שאר הזוויות (2 עד 8).
- זווית 3 קודקודית לזווית 1 (זוויות קודקודיות שוות, כפי שלמדנו בכיתה ז'), ולכן זווית 3 = 70°.
- זווית 2 סמוכה לזווית 1 (יחד יוצרות זווית שטוחה, 180°), ולכן זווית 2 = 180°-70° = 110°. זווית 4 קודקודית לזווית 2, ולכן גם זווית 4 = 110°.
- זווית 5 מתאימה לזווית 1 (אותה פינה בשתי נקודות החיתוך), וכיוון ש-a מקביל ל-b, זוויות מתאימות שוות: זווית 5 = 70°.
- זווית 7 קודקודית לזווית 5, ולכן זווית 7 = 70°.
- זווית 6 סמוכה לזווית 5 (180°-70°=110°), וזווית 8 קודקודית לזווית 6, ולכן זווית 6 = זווית 8 = 110°.
תשובה: זווית 2=110°, זווית 3=70°, זווית 4=110°, זווית 5=70°, זווית 6=110°, זווית 7=70°, זווית 8=110°.
במשולש ABC, זווית A = 55° וזווית B = 65°. מאריכים את הצלע BC מעבר לנקודה C, עד לנקודה D. מצאו את זווית C (זווית ACB) ואת הזווית החיצונית ACD.
- סכום הזוויות במשולש הוא 180°: זווית A + זווית B + זווית C = 180°. לכן זווית C = 180°-55°-65° = 60°.
- זווית ACD (החיצונית) וזווית ACB (הפנימית) יחד יוצרות את הישר BD, ולכן משלימות זו את זו ל-180°: זווית ACD = 180°-60° = 120°.
- בדיקה: הזווית החיצונית אמורה להיות שווה לסכום שתי הזוויות הרחוקות, A+B = 55°+65° = 120° – מתאים למה שקיבלנו.
תשובה: זווית C = 60°, הזווית החיצונית ACD = 120°.
תרגול
1. קו c חותך שני ישרים מקבילים: a למעלה ו-b למטה (כמו בשיעור – מספור בכיוון השעון: 1,2,3,4 בחיתוך עם a, ו-5,6,7,8 באותו סדר בחיתוך עם b). נתון שזווית 4 = 130°. מצאו את זווית 1, זווית 6 וזווית 7, ונמקו כל שלב.תרגול
- זווית 1 וזווית 4 סמוכות זו לזו על הישר a (יחד יוצרות ישר שלם), ולכן זווית 1 + זווית 4 = 180°. משמע זווית 1 = 180°-130° = 50°.
- זווית 2 קודקודית לזווית 4, ולכן זווית 2 = 130°. זווית 6 מתאימה לזווית 2 (אותה פינה, ו-a מקביל ל-b), ולכן זווית 6 = 130°.
- זווית 5 מתאימה לזווית 1, ולכן זווית 5 = 50°. זווית 7 קודקודית לזווית 5, ולכן זווית 7 = 50°.
תשובה: זווית 1 = 50°, זווית 6 = 130°, זווית 7 = 50°.
2. באותו שרטוט (קו c חותך את המקבילים a ו-b, עם אותו מספור 1-8), נתון שזווית 5 = 95°. מצאו: (א) זווית 1 – המתאימה לזווית 5. (ב) זווית 3 – המתחלפת לזווית 5. (ג) זווית 2 – החד-צדדית לזווית 5.תרגול
- זווית 1 מתאימה לזווית 5 (אותה פינה בשתי נקודות החיתוך), וזוויות מתאימות בין מקבילים שוות: זווית 1 = 95°.
- זווית 3 היא זווית פנימית בצד הנגדי של קו החותך ביחס לזווית 5 – זווית מתחלפת. זוויות מתחלפות שוות: זווית 3 = 95°.
- זווית 2 היא זווית פנימית באותו צד של קו החותך כמו זווית 5 – זווית חד-צדדית. זוויות חד-צדדיות משלימות ל-180°: זווית 2 = 180°-95° = 85°.
- בדיקה: זווית 1 וזווית 3 קודקודיות זו לזו (על הישר a), ואכן שתיהן יצאו 95° – זה מוודא שהחישוב נכון.
תשובה: זווית 1 = 95°, זווית 3 = 95°, זווית 2 = 85°.
3. פסי רכבת מקבילים (נסמן a ו-b). קורת עץ (c) חוצה את שניהם באלכסון, כמו קו חותך. הזווית הפנימית שנוצרת בין הקורה לפס הקרוב (a), בצד ימין של הקורה, היא 118°. (א) מהי הזווית הפנימית בין הקורה לפס הרחוק (b), גם היא בצד ימין (החד-צדדית לזווית הנתונה)? (ב) מהי הזווית הפנימית בין הקורה לפס הרחוק (b), בצד שמאל (המתחלפת לזווית הנתונה)?שאלה בהקשר
- הזווית הנתונה (118°) והזווית המבוקשת בסעיף (א) הן שתי זוויות פנימיות באותו צד של קו החותך – זוויות חד-צדדיות, שמשלימות זו את זו ל-180°.
- לכן הזווית בסעיף (א) = 180°-118° = 62°.
- הזווית המבוקשת בסעיף (ב) פנימית, אבל בצד הנגדי של קו החותך ביחס לזווית הנתונה – זווית מתחלפת. זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו, ולכן הזווית בסעיף (ב) = 118°.
תשובה: (א) 62°. (ב) 118°.
4. מתקן תמיכה משולש תומך במדף שמחובר לקיר (כמו סוגר משולש מתחת למדף). הזווית שבה הקיר והמדף נפגשים (בפינה שעל הקיר) היא 90°. הזווית שבין המדף לבין המוט האלכסוני התומך (בקצה המדף) היא 25°. מה גודל הזווית השלישית של המשולש – זו שבין הקיר למוט האלכסוני?שאלה בהקשר
- סכום שלוש הזוויות בכל משולש הוא 180°.
- שתיים מהזוויות ידועות: 90° ו-25°, וסכומן 90°+25° = 115°.
- הזווית השלישית = 180°-115° = 65°.
תשובה: 65°.
5. במשולש ABC, זווית A = 64° וזווית C = 41°. מאריכים את הצלע AB מעבר לנקודה B, עד לנקודה D. מצאו את זווית B (זווית ABC) ואת הזווית החיצונית DBC.תרגול
- סכום הזוויות במשולש הוא 180°: זווית A + זווית B + זווית C = 180°. לכן זווית B = 180°-64°-41° = 75°.
- זווית DBC (החיצונית) וזווית ABC (הפנימית) יחד יוצרות את הישר AD, ולכן משלימות ל-180°: זווית DBC = 180°-75° = 105°.
- בדיקה: הזווית החיצונית אמורה להיות שווה לסכום שתי הזוויות הרחוקות, A+C = 64°+41° = 105° – תואם.
תשובה: זווית B = 75°, הזווית החיצונית DBC = 105°.
6. מגרש בצורת משולש ABC. הזווית בפינה A, ליד השער, היא 100°. הזווית בפינה B, ליד הבאר, היא 35°. מאריכים את הצלע AC (המחברת בין השער לפינה השלישית C) מעבר לנקודה C. מהי הזווית החיצונית שנוצרת שם?שאלה בהקשר
- קודם מוצאים את זווית C (הפנימית): סכום הזוויות במשולש הוא 180°, אז זווית C = 180°-100°-35° = 45°.
- הזווית החיצונית בנקודה C משלימה את הזווית הפנימית C ל-180° (הן יחד יוצרות ישר): הזווית החיצונית = 180°-45° = 135°.
- אפשר גם לחשב ישירות: הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הרחוקות, A+B = 100°+35° = 135° – אותה תוצאה.
תשובה: 135°.
7. לנגר יש קורות עץ ורוצה להרכיב מהן מסגרת משולשת. קבוצה א': קורות באורך 5 מ', 9 מ' ו-3 מ'. קבוצה ב': קורות באורך 6 מ', 7 מ' ו-8 מ'. עבור כל קבוצה, בדקו (בעזרת אי-שוויון המשולש) אם אפשר להרכיב מהקורות משולש, ונמקו.שאלה בהקשר
- אי-שוויון המשולש אומר שסכום כל שתי צלעות חייב להיות גדול מהצלע השלישית.
- קבוצה א': שתי הקורות הקצרות הן 5 ו-3, וסכומן 5+3=8. זה קטן מהקורה השלישית (9), אז אי אפשר להרכיב מהן משולש.
- קבוצה ב': בודקים את כל הזוגות – 6+7=13>8 ✓, 6+8=14>7 ✓, 7+8=15>6 ✓. כל התנאים מתקיימים, אז כן אפשר להרכיב מהן משולש.
תשובה: קבוצה א' – לא ניתן (5+3=8 קטן מ-9). קבוצה ב' – כן ניתן.
8. במשולש ABC, אורך הצלע BC הוא 14 ס"מ. מותחים תיכון מקודקוד A אל הצלע BC, והוא פוגע בה בנקודה M. מה אורך הקטע BM? מה אורך הקטע MC? מה ניתן לומר על שטחי המשולשים ABM ו-ACM?תרגול
- לפי ההגדרה, תיכון הוא קטע שמחבר קודקוד עם אמצע הצלע שממול לו – כלומר, נקודה M היא בדיוק אמצע הצלע BC.
- לכן BM = MC = BC ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7 ס"מ.
- המשולשים ABM ו-ACM חולקים את אותו גובה (המרחק מקודקוד A אל הישר BC), ובסיסיהם (BM ו-MC) שווים באורכם – ולכן שטחי שני המשולשים שווים.
תשובה: BM = 7 ס"מ, MC = 7 ס"מ. שטח המשולש ABM שווה לשטח המשולש ACM.
9. במשולש ABC, זווית A שווה ל-90°. א. מה סכום הזוויות B ו-C? ב. במשולש DEF, זווית D קהה (גדולה מ-90°). מה ניתן לומר על זוויות E ו-F, בלי לדעת את גודלן המדויק?תרגול
- סכום שלוש הזוויות בכל משולש הוא 180°. א. מכיוון שזווית A=90°, נשאר לזוויות B ו-C ביחד: 180°-90°=90°.
- ב. סכום הזוויות E ו-F ביחד הוא 180° פחות הזווית הקהה D, שגדולה מ-90°. לכן הסכום של E ו-F קטן מ-90°, ומכיוון ששתיהן חיוביות, כל אחת מהן בהכרח קטנה מ-90° - כלומר שתיהן זוויות חדות.
תשובה: א. סכום הזוויות B ו-C הוא 90°. ב. הזוויות E ו-F הן בהכרח שתיהן זוויות חדות (סכומן קטן מ-90°).
לזכירה
- קו חותך שחוצה שני ישרים מקבילים יוצר 8 זוויות; זוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות, וזוויות חד-צדדיות משלימות ל-180°.
- סכום הזוויות בכל משולש הוא תמיד 180°; מכאן נובע שבמשולש ישר-זווית שתי הזוויות החדות משלימות זו את זו ל-90°, ובמשולש קהה-זווית שתי הזוויות הנותרות הן תמיד חדות.
- זווית חיצונית במשולש משלימה ל-180° את הזווית הפנימית הסמוכה לה, והיא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הרחוקות ממנה.
- שלוש צלעות יכולות ליצור משולש רק אם סכום כל שתיים מהן גדול מהצלע השלישית (אי-שוויון המשולש).
- תיכון הוא קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו; בכל משולש יש שלושה תיכונים, וכל תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים ששטחיהם שווים.