קצב שינוי של פונקציה; שיפוע של ישר; התאמה בין ישר למשוואתו
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אני שבלול, ואני זוחל לאט אבל תמיד באותו קצב קבוע – וזה בדיוק מה שהשיפוע מודד. תדמיינו שאני מתקדם 2 ס"מ בכל שנייה: השיפוע שלי הוא 2, וזה אומר לכם בדיוק כמה אני 'עולה' על הגרף בכל צעד ימינה. אם אתם תקועים – רק תשאלו את עצמכם 'כמה y השתנה, וכמה x השתנה?' וחלקו את המספרים זה בזה. זה הכל, ואתם כבר יודעים את זה!
קצב שינוי של פונקציה – מה זה אומר?
קצב השינוי של פונקציה מודד כמה משתנה ערך ה-y (הפלט) כשערך ה-x (הקלט) משתנה. לדוגמה, שתלו עציץ ומדדו את גובהו: ביום 0 הגובה היה 2 ס"מ, ביום 1 – 6 ס"מ, ביום 2 – 12 ס"מ, וביום 3 – 20 ס"מ. הקצב בין יום 0 ליום 1 הוא (6-2)/(1-0)=4 ס"מ ליום, ואילו בין יום 1 ליום 2 הוא (12-6)/(2-1)=6 ס"מ ליום – קצבים שונים, כלומר הצמח 'מאיץ' בגדילה שלו, וגרף הגובה לאורך זמן אינו קו ישר. לעומת זאת, כשקצב השינוי זהה בכל קטע לאורך כל הגרף, מתקבל דווקא קו ישר – וזה בדיוק הנושא של הסעיף הבא.
שיפוע של ישר – איך מחשבים אותו?
כאשר הגרף הוא ישר, קצב השינוי שלו קבוע בכל מקום, ולקצב הקבוע הזה קוראים 'שיפוע'. השיפוע מסומן בדרך כלל באות a (בספרים מסוימים משתמשים באות m – אותו דבר בדיוק). אם נתונות שתי נקודות על הישר, (x1,y1) ו-(x2,y2) — המספרים 1 ו-2 רק מסמנים 'הנקודה הראשונה' ו'הנקודה השנייה' — מחשבים את השיפוע לפי הנוסחה: a = (y2-y1)/(x2-x1), כלומר 'השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x'. אפשר לבחור כל שתי נקודות על אותו ישר, ותמיד יתקבל אותו מספר.
מה מספר השיפוע מספר לנו?
הסימן של השיפוע קובע את כיוון הישר: שיפוע חיובי (a>0) אומר שהישר עולה משמאל לימין (כש-x גדל, גם y גדל); שיפוע שלילי (a<0) אומר שהישר יורד (כש-x גדל, y קטן); ושיפוע 0 אומר שהישר אופקי – y קבוע ולא תלוי ב-x בכלל. הגודל של השיפוע קובע כמה הישר תלול: ככל שהשיפוע רחוק יותר מאפס (למשל 5 או 5-) הישר תלול יותר, וככל שהוא קרוב יותר לאפס (למשל 0.5 או 0.5-) הישר מתון ושטוח יותר.
משוואת הישר: y = ax + b
כזכור, אפשר לתאר פונקציה גם בייצוג אלגברי – במשוואה שמקשרת בין x ל-y. כשהגרף של הפונקציה הוא ישר, לייצוג הזה יש צורה קבועה ופשוטה: כל ישר שאינו מקביל לציר ה-y אפשר לתאר במשוואה מהצורה y = ax + b. באות a נמצא בדיוק השיפוע שלמדנו עליו, ובאות b נמצאת נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y – כלומר הנקודה (0,b), הערך של y כאשר x=0. כשנותנים לנו את המשוואה של ישר, אפשר לקרוא ממנה מיד את a ואת b בלי לחשב שום דבר, ולהפך – אם יודעים מהו השיפוע והיכן הישר חותך את ציר ה-y, אפשר לכתוב את המשוואה שלו.
התאמה בין ישר למשוואתו
כדי להתאים גרף למשוואה שלו (או להפך), יש שתי בדיקות פשוטות: קודם בודקים איפה הישר חותך את ציר ה-y – זה חייב להיות שווה ל-b במשוואה. אחר כך בוחרים שתי נקודות ברורות על הישר ומחשבים את השיפוע ביניהן לפי הנוסחה – זה חייב להיות שווה ל-a במשוואה. אם שני הדברים מתאימים, מצאנו את המשוואה הנכונה. באותו אופן, כדי לצייר ישר לפי משוואה נתונה: מתחילים בנקודה (0,b) על ציר ה-y, ומשם זזים יחידה אחת ימינה, ואז זזים מספר יחידות השווה לגודל של a בלי הסימן – למעלה אם a חיובי, למטה אם a שלילי (למשל, אם a=-3 זזים 3 יחידות למטה) – וכך מוצאים נקודה שנייה ומעבירים דרכן ישר.
דוגמאות פתורות
על ישר נמצאות שתי הנקודות A(1,3) ו-B(5,11). מהו שיפוע הישר העובר דרך שתי הנקודות?
- נציב בנוסחת השיפוע: a = (y2-y1)/(x2-x1).
- ניקח (x1,y1)=(1,3) ו-(x2,y2)=(5,11).
- השינוי ב-y: 11-3=8. השינוי ב-x: 5-1=4.
- a = 8/4 = 2.
תשובה: השיפוע הוא 2 — בכל צעד של יחידה אחת ימינה (ב-x), הגרף עולה 2 יחידות (ב-y). זהו ישר עולה.
נתונה משוואת הישר y = -3x + 6. מהו שיפוע הישר? היכן הוא חותך את ציר ה-y? האם הישר עולה או יורד? מצאו נקודה נוספת שנמצאת עליו.
- משווים למשוואה הכללית y=ax+b: כאן a=-3 ו-b=6.
- a=-3 שלילי, ולכן הישר יורד — ככל ש-x גדל, y קטן.
- b=6 היא נקודת החיתוך עם ציר ה-y, כלומר הנקודה (0,6) נמצאת על הישר.
- כדי למצוא נקודה נוספת: מ-(0,6) זזים יחידה אחת ימינה (x גדל ב-1) ו-3 יחידות למטה (כי a=-3), ומגיעים ל-(1,3).
- בדיקה: נציב x=1 במשוואה: y=-3(1)+6=3. מתאים!
תשובה: השיפוע הוא 3-, הישר יורד, חותך את ציר ה-y בנקודה (0,6), ועובר גם דרך הנקודה (1,3).
תרגול
1. מצאו את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (2,4) ו-(6,16).תרגול
- a = (y2-y1)/(x2-x1)
- a = (16-4)/(6-2) = 12/4
- a = 3
תשובה: השיפוע הוא 3.
2. נתונה משוואת הישר y = 4x - 7. מהו השיפוע ומהי נקודת החיתוך עם ציר ה-y?תרגול
- משווים ל-y=ax+b: a=4, b=-7.
- a=4 הוא השיפוע.
- b=-7 ולכן נקודת החיתוך עם ציר ה-y היא (0,-7).
תשובה: שיפוע = 4, חיתוך עם ציר ה-y בנקודה (0,-7).
3. על ישר נמצאות הנקודות (2,5) ו-(7,5). מהו שיפוע הישר, ומה זה אומר על צורתו?תרגול
- a = (y2-y1)/(x2-x1) = (5-5)/(7-2) = 0/5
- a = 0
תשובה: השיפוע הוא 0 — הישר אופקי (מקביל לציר ה-x), כלומר y קבוע ואינו תלוי ב-x.
4. נתונה משוואת הישר y = -x + 2. מצאו את ערך ה-y כאשר x=5, וציינו את הנקודה המתקבלת.תרגול
- מזהים a=-1, b=2.
- מציבים x=5 במשוואה: y = -1(5)+2 = -5+2 = -3.
תשובה: y = -3, כלומר הנקודה (5,-3) נמצאת על הישר.
5. מיכל מים מתרוקן בקצב קבוע. בזמן t=0 יש במיכל 80 ליטר. אחרי 4 דקות יש במיכל 60 ליטר. מהו קצב השינוי של כמות המים (בליטר לדקה)? מה המשמעות של הסימן שלו?שאלה בהקשר
- שתי הנקודות (זמן, כמות מים): (0,80) ו-(4,60).
- קצב שינוי = (שינוי בכמות המים)/(שינוי בזמן) = (60-80)/(4-0) = -20/4
- קצב השינוי = -5
תשובה: קצב השינוי הוא 5- ליטר לדקה. הסימן השלילי אומר שכמות המים יורדת (המיכל מתרוקן) בקצב של 5 ליטר בכל דקה.
6. מונית גובה 10 ש"ח דמי פתיחה, ועוד 3 ש"ח לכל ק"מ נסיעה. הגרף של מחיר הנסיעה עובר דרך הנקודות (0,10) ו-(1,13). איזו משוואה מתאימה לגרף הזה: y=3x+10 או y=3x+13? הסבירו איך ידעתם.שאלה בהקשר
- בשתי המשוואות a=3, כך שהשיפוע לא מבדיל ביניהן — צריך לבדוק את נקודת החיתוך עם ציר ה-y.
- נקודת החיתוך הנתונה היא (0,10), כלומר b=10 בפועל.
- משווים לשתי האפשרויות: ב-y=3x+10 יש b=10 (מתאים), וב-y=3x+13 יש b=13 (לא מתאים).
תשובה: המשוואה המתאימה היא y=3x+10 — וזה גם מתיישב עם ההקשר: 10 ש"ח הם דמי הפתיחה, כלומר המחיר כש-x=0.
7. בגרף מסוים רואים ישר שעובר דרך הנקודה (0,1) ודרך הנקודה (2,9). איזו משוואה מתאימה לישר הזה: y=3x+1 או y=4x+1? הסבירו איך ידעתם.שאלה בהקשר
- הנקודה (0,1) אומרת שנקודת החיתוך עם ציר ה-y היא b=1 — שתי המשוואות מתאימות מבחינה זו, אז צריך לבדוק גם את השיפוע.
- מחשבים את השיפוע בפועל מהנקודות הנתונות: a=(9-1)/(2-0)=8/2=4.
- משווים לשתי האפשרויות: ב-y=3x+1 יש a=3 (לא מתאים), וב-y=4x+1 יש a=4 (מתאים).
תשובה: המשוואה המתאימה היא y=4x+1.
לזכירה
- קצב שינוי של פונקציה מודד כמה משתנה ה-y (הפלט) לכל שינוי של יחידה אחת ב-x (הקלט): קצב שינוי = (שינוי ב-y)/(שינוי ב-x).
- בישר, קצב השינוי קבוע בכל אורך הגרף — ולקצב הקבוע הזה קוראים 'שיפוע', ומסמנים אותו באות a (או m).
- מחשבים שיפוע בין שתי נקודות (x1,y1) ו-(x2,y2) על אותו ישר לפי הנוסחה a = (y2-y1)/(x2-x1).
- שיפוע חיובי = ישר עולה, שיפוע שלילי = ישר יורד, שיפוע 0 = ישר אופקי; ככל שהשיפוע רחוק יותר מ-0, הישר תלול יותר.
- כל ישר (שאינו מקביל לציר ה-y) אפשר לכתוב במשוואה y=ax+b, כאשר a הוא השיפוע ו-b הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y — הנקודה (0,b).
- כדי להתאים ישר למשוואתו: בודקים אם נקודת החיתוך עם ציר ה-y שווה ל-b, ומחשבים את השיפוע בין שתי נקודות ובודקים שהוא שווה ל-a.