סטטיסטיקה: אינטרפולציה על סמך ניתוח נתונים כמותיים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אינטרפולציה היא כמו לקרוא בין השורות בטבלה - אתם יודעים את הנתון לפני ואת הנתון אחרי, וצריכים להעריך מה קרה באמצע. הטריק החשוב ביותר: תמיד תבדקו קודם אם המיקום המבוקש נמצא בדיוק באמצע הדרך בין שתי הנקודות הידועות, או שהוא קרוב יותר לאחת מהן. רק כשהוא בדיוק באמצע אפשר לקחת ממוצע פשוט - אחרת חייבים לחשב את קצב השינוי האמיתי ולהשתמש בו, אחרת התשובה תהיה שגויה!
מהי אינטרפולציה?
אינטרפולציה היא שיטה לחיזוי או להערכה של ערך חסר בתוך תחום הנתונים הידוע - כלומר, כאשר יודעים חלק מהנתונים ורוצים להעריך מה היה הערך ב"אמצע", בין שתי נקודות שכבר ידועות. השיטה מניחה שהשינוי בין הנקודות הידועות הוא ליניארי (אחיד) - כלומר, שהגרף בין שתי הנקודות הקרובות קרוב לקו ישר. אינטרפולציה שימושית מאוד: היא עוזרת להשלים נתונים חסרים בסקרים או בניסויים, לחזות ערכים בין מדידות (כמו טמפרטורה בין שתי שעות), ולבנות מודלים בתחומים כמו כלכלה, פיזיקה והנדסה.
שיטה: אלגברה של קו ישר
כדי לחשב ערך ביניים באינטרפולציה, משתמשים בשני הנתונים הידועים הקרובים ביותר לערך המבוקש (לא בכל הנתונים בטבלה!). מוצאים את קצב השינוי ("שיפוע") בין שתי הנקודות הקרובות: קצב = (ההפרש בין שני הערכים הידועים) חלקי (ההפרש בין שני מיקומי ה-x המתאימים). לאחר מכן, כדי למצוא את הערך במיקום הביניים המבוקש, מתחילים מאחת הנקודות הידועות ומוסיפים את קצב השינוי כפול המרחק בין המיקום הידוע למיקום המבוקש.
זהירות: אינטרפולציה נכונה היא לא תמיד ה"אמצע הפשוט"
כשהמרחקים (על ציר ה-x) בין הנקודה הידועה הראשונה, הנקודה המבוקשת, והנקודה הידועה השנייה - שווים בדיוק, אז אכן אפשר למצוא את הערך המבוקש כממוצע הפשוט של שני הערכים הידועים. אבל אם המרחקים אינם שווים, ממוצע פשוט של שני הערכים הידועים ייתן תשובה שגויה! למשל, אם ידועים נתונים בשנת 2010 ובשנת 2015, והמבוקש הוא שנת 2013 - שנת 2013 היא לא בדיוק באמצע (2012.5 היה האמצע), ולכן חייבים לחשב לפי קצב השינוי האמיתי, ולא סתם לקחת ממוצע של שני הערכים הידועים.
שיטה חלופית: חלוקת הפרשים באותו יחס
דרך נוספת, שקולה לגמרי לאלגברה של קו ישר, היא לחשוב במונחי יחס: אם המיקום המבוקש נמצא, למשל, ברבע הדרך בין שתי הנקודות הידועות (מבחינת ציר ה-x), אז גם הערך המבוקש נמצא בדיוק ברבע הדרך בין שני הערכים הידועים (מבחינת ציר ה-y), בהנחה שהשינוי אכן ליניארי. שתי הדרכים - אלגברה של קו ישר וחלוקת הפרשים ביחס - תמיד נותנות בדיוק אותה תוצאה, ואפשר לבחור באיזו מהן להשתמש.
מתי אינטרפולציה אמינה
אינטרפולציה נחשבת אמינה כאשר הנתונים שבין שתי הנקודות הידועות באמת מתנהגים בצורה קרובה לליניארית (קו ישר) - כלומר, אין סיבה להניח שקרה משהו חריג בדיוק בקטע הזה. ככל שהנקודה המבוקשת רחוקה יותר משתי הנקודות הידועות הקרובות אליה, האומדן פחות מהימן. בניגוד לאקסטרפולציה (שנלמד בשיעור הבא), באינטרפולציה תמיד מעריכים ערך שנמצא בתוך התחום הידוע, ולא מחוצה לו - ולכן ההערכה בדרך כלל מדויקת יותר.
דוגמאות פתורות
הטמפרטורה (במעלות צלזיוס) נמדדה כל שעתיים: 8:00 - 18°, 10:00 - 22°, 12:00 - ?, 14:00 - 30°. בהנחה שהשינוי בין 10:00 ל-14:00 היה ליניארי (אחיד), העריכו באמצעות אינטרפולציה את הטמפרטורה בשעה 12:00.
- מזהים את שתי הנקודות הידועות הקרובות ביותר ל-12:00: השעה 10:00 (22°) והשעה 14:00 (30°) - השעה 12:00 נמצאת בדיוק ביניהן.
- מחשבים את קצב השינוי בין הנקודות הידועות: (30-22) חלקי (14-10) = 8/4 = 2 מעלות לכל שעה.
- השעה 12:00 היא שעתיים אחרי 10:00, ולכן: טמפרטורה ב-12:00 = 22 + 2×2 = 22+4 = 26 מעלות.
- בדיקה: מכיוון שהשעה 12:00 נמצאת בדיוק באמצע בין 10:00 ל-14:00, אפשר גם לבדוק בממוצע פשוט: (22+30)/2 = 26 - אותה תוצאה בדיוק, כי כאן המרחקים סימטריים.
תשובה: הטמפרטורה המוערכת ב-12:00 היא 26 מעלות צלזיוס.
נתוני אוכלוסייה (במיליוני תושבים) של עיר: בשנת 2010 - 5.0 מיליון, בשנת 2015 - 8.0 מיליון. קצב הגידול בין השנים אחיד (ליניארי). תלמיד טען: "האמצע בין 5.0 ל-8.0 הוא 6.5, אז זה בטח הערך בשנת 2013". א. האם התלמיד צודק? הסבירו. ב. מצאו באמצעות אינטרפולציה נכונה את האוכלוסייה המוערכת בשנת 2013.
- סעיף א: הטענה של התלמיד הייתה נכונה רק אם 2013 הייתה בדיוק באמצע בין 2010 ל-2015 - אבל אמצע התקופה הוא 2012.5, לא 2013. 2013 קרובה יותר לשנת 2015 מאשר ל-2010 (יחסית לאמצע), ולכן חישוב ממוצע פשוט (6.5) אינו נכון כאן.
- סעיף ב: מחשבים את קצב הגידול השנתי: (8.0-5.0) חלקי (2015-2010) = 3.0/5 = 0.6 מיליון לשנה.
- שנת 2013 היא 3 שנים אחרי 2010, ולכן: אוכלוסייה ב-2013 = 5.0 + 0.6×3 = 5.0+1.8 = 6.8 מיליון.
- אכן 6.8 שונה מ-6.5 (התשובה השגויה של התלמיד) - ההבדל נובע מכך ש-2013 אינה באמצע התקופה בדיוק.
תשובה: א. התלמיד טעה - 2013 אינה בדיוק באמצע בין 2010 ל-2015 (האמצע הוא 2012.5), ולכן ממוצע פשוט אינו מתאים. ב. האוכלוסייה המוערכת בשנת 2013, לפי חישוב קצב הגידול הנכון, היא 6.8 מיליון תושבים.
תרגול
1. גובהו של שתיל (בס"מ) נמדד מדי שבוע: שבוע 1 - 10 ס"מ, שבוע 2 - ?, שבוע 3 - 18 ס"מ. בהנחה שהגידול היה ליניארי, העריכו את גובה השתיל בשבוע 2.תרגול
- שבוע 2 נמצא בדיוק באמצע בין שבוע 1 לשבוע 3, ולכן אפשר לקחת ממוצע פשוט (או לחשב קצב שינוי - שתי הדרכים יתנו אותה תוצאה כאן).
- קצב השינוי: (18-10) חלקי (3-1) = 8/2 = 4 ס"מ לשבוע.
- גובה בשבוע 2 = 10 + 4×1 = 14 ס"מ.
תשובה: גובה השתיל המוערך בשבוע 2 הוא 14 ס"מ.
2. משכורת חודשית (בש"ח) נמדדה: ינואר - 3000, אפריל - 3900. בהנחה שהגידול היה ליניארי מינואר ועד אפריל, העריכו את המשכורת בפברואר (חודש אחד אחרי ינואר, מתוך שלושה חודשי מרווח עד אפריל).תרגול
- פברואר אינו באמצע בדיוק בין ינואר לאפריל (יש 3 חודשי מרווח, ופברואר הוא רק חודש אחד אחרי ינואר), ולכן צריך לחשב את קצב השינוי.
- קצב השינוי: (3900-3000) חלקי (אפריל-ינואר = 3 חודשים) = 900/3 = 300 ש"ח לחודש.
- משכורת בפברואר = 3000 + 300×1 = 3300 ש"ח.
תשובה: המשכורת המוערכת בפברואר היא 3,300 ש"ח.
3. מכונית נוסעת במהירות קבועה. מרחק שנסעה נמדד: בדקה 2 - 30 ק"מ, בדקה 6 - 70 ק"מ. העריכו באמצעות אינטרפולציה את המרחק שנסעה בדקה 5.תרגול
- מחשבים את קצב השינוי: (70-30) חלקי (6-2) = 40/4 = 10 ק"מ לדקה.
- דקה 5 היא 3 דקות אחרי דקה 2, ולכן: מרחק בדקה 5 = 30 + 10×3 = 30+30 = 60 ק"מ.
תשובה: המרחק המוערך בדקה 5 הוא 60 ק"מ.
4. מחיר מוצר (בש"ח) עלה בהדרגה: בשבוע 1 - 40 ש"ח, בשבוע 5 - 60 ש"ח (עלייה ליניארית). תלמיד טען: "האמצע בין 40 ל-60 הוא 50, אז זה המחיר בשבוע 3". בדקו אם הטענה נכונה הפעם, ואם כן - הסבירו למה.שאלה בהקשר
- בודקים אם שבוע 3 נמצא בדיוק באמצע בין שבוע 1 לשבוע 5: (1+5)/2 = 3 - כן, שבוע 3 הוא בדיוק המחצית בין שבוע 1 לשבוע 5.
- מכיוון שהמיקום המבוקש נמצא בדיוק באמצע, מותר במקרה הזה לקחת ממוצע פשוט: (40+60)/2 = 50.
- בדיקה עם קצב שינוי: (60-40)/(5-1) = 20/4 = 5 ש"ח לשבוע. מחיר בשבוע 3 = 40+5×2 = 50 - אותה תוצאה בדיוק, כי כאן המרחקים סימטריים.
תשובה: הפעם הטענה נכונה - שבוע 3 הוא בדיוק באמצע בין שבוע 1 לשבוע 5, ולכן מותר לקחת ממוצע פשוט: המחיר המוערך הוא 50 ש"ח.
5. מספר החיידקים (באלפים) בתרבית נמדד כל 3 שעות: שעה 0 - 2, שעה 3 - 5, שעה 6 - 11, שעה 9 - 17. הניחו שהשינוי ליניארי בכל קטע בין שתי מדידות סמוכות (אך לא בהכרח באותו קצב בכל הטבלה). העריכו את מספר החיידקים בשעה 4.שאלה בהקשר
- שעה 4 נמצאת בין שעה 3 (5 אלף) לשעה 6 (11 אלף) - אלה הנקודות הידועות הקרובות ביותר לשעה 4, ולא שעה 0 או שעה 9.
- מחשבים קצב שינוי רק בקטע הזה: (11-5) חלקי (6-3) = 6/3 = 2 אלף לשעה.
- שעה 4 היא שעה אחת אחרי שעה 3, ולכן: מספר חיידקים בשעה 4 = 5 + 2×1 = 7 אלף.
תשובה: מספר החיידקים המוערך בשעה 4 הוא 7 אלף (7,000) - חושב מתוך הקטע שבין שעה 3 לשעה 6 בלבד, כי אלה הנקודות הקרובות ביותר.
6. טמפרטורת תנור נמדדה תוך חימום: דקה 0 - 20°, דקה 10 - 220°. הניחו עלייה ליניארית. העריכו את הטמפרטורה בדקה 4, והסבירו למה אי אפשר לקחת כאן פשוט ממוצע של 20 ו-220.שאלה בהקשר
- דקה 4 אינה באמצע בין דקה 0 לדקה 10 (האמצע הוא דקה 5), ולכן ממוצע פשוט של 20 ו-220 (שהיה נותן 120) יתאים לדקה 5, לא לדקה 4 - יש לחשב לפי קצב השינוי.
- מחשבים קצב שינוי: (220-20) חלקי (10-0) = 200/10 = 20 מעלות לדקה.
- טמפרטורה בדקה 4 = 20 + 20×4 = 20+80 = 100 מעלות.
תשובה: הטמפרטורה המוערכת בדקה 4 היא 100 מעלות - נמוכה מ-120 (הממוצע הפשוט), כי דקה 4 קרובה יותר לתחילת המדידה (דקה 0) מאשר לאמצע.
לזכירה
- אינטרפולציה מעריכה ערך חסר בתוך תחום הנתונים הידוע, בהנחה שהשינוי בין הנקודות הידועות הקרובות ליניארי (אחיד).
- משתמשים תמיד בשתי הנקודות הידועות הקרובות ביותר לערך המבוקש - לא בכל הנתונים שבטבלה.
- מחשבים קצב שינוי = (הפרש הערכים הידועים) חלקי (הפרש המיקומים הידועים), ואז מוסיפים אותו כפול המרחק מהנקודה הידועה למיקום המבוקש.
- ממוצע פשוט של שני הערכים הידועים נכון רק כאשר המיקום המבוקש נמצא בדיוק באמצע הדרך ביניהם - אחרת חובה לחשב לפי קצב השינוי.
- ככל שהנקודה המבוקשת מרוחקת יותר מהנקודות הידועות הקרובות אליה, האומדן פחות מדויק.