מבוא לפונקציה; פונקציה בייצוג גרפי; היכרות עם ייצוג אלגברי של פונקציה
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! בואו נחשוב על פונקציה כמו מכונה קסומה: מכניסים לה מספר אחד (x), והיא תמיד פולטת בדיוק מספר אחד בתמורה (y) - אף פעם לא שני מספרים שונים לאותה הכנסה. את הכלל של המכונה אפשר לתאר בכמה דרכים - במילים, בטבלה, בגרף, או בנוסחה כמו y=2x+1 - וכולן מתארות בדיוק את אותו דבר. אם אתם תקועים, פשוט שאלו את עצמכם: "לכל x שאני בודק, האם יוצא לי רק y אחד?" - ואם כן, זו פונקציה, ואתם כבר מבינים אותה!
מהי פונקציה?
דמיינו מכונה שמקבלת מספר ופולטת מספר אחר לפי כלל קבוע - למשל, מכונה שמכפילה כל מספר שנכנס אליה ב-6. אם ניקח את מספר הקילוגרמים של תפוחים שקונים בחנות (x) ונחשב את המחיר בשקלים (y) לפי הכלל 'מחיר = 6 כפול מספר הקילוגרמים', נקבל שלכל כמות תפוחים יש מחיר אחד ויחיד. זהו הרעיון של פונקציה: כלל שמתאים לכל ערך של משתנה אחד (הנקרא המשתנה הבלתי תלוי, בדרך כלל x) ערך יחיד ומדויק של משתנה שני (הנקרא המשתנה התלוי, בדרך כלל y). אם לאותו x היו מתקבלים שני ערכי y שונים, זה לא היה יכול להיות תיאור של פונקציה. קבוצת כל ערכי ה-x שעבורם מותר להציב בכלל ולקבל ערך y - נקראת תחום ההגדרה של הפונקציה.
טבלת ערכים ובדיקה אם זו פונקציה
אפשר לרשום את הקשר בין x ל-y בטבלת ערכים: שורה אחת של ערכי x, ומולה שורה של ערכי y המתאימים להם. כדי לבדוק אם טבלה כזו מתארת פונקציה, בודקים אם יש ערך x שמופיע פעמיים עם שני ערכי y שונים - אם כן, זו אינה טבלה של פונקציה, כי אז לא ברור מה הערך היחיד שמתאים לאותו x. לעומת זאת, אין שום בעיה שלשני ערכי x שונים יהיה אותו ערך y (למשל שני תלמידים שונים קיבלו אותו ציון) - זה עדיין פונקציה, כי הדרישה היא רק שלכל x יהיה y יחיד.
ייצוג גרפי של פונקציה
כל זוג ערכים (x,y) מטבלת הפונקציה אפשר לסמן כנקודה במערכת צירים: ציר ה-x האופקי מייצג את המשתנה הבלתי תלוי, וציר ה-y האנכי מייצג את המשתנה התלוי. אתם כבר יודעים מכיתה ז' לסמן נקודות בכל ארבעת הרביעים של מערכת הצירים, כולל עם מספרים שליליים - אז באופן כללי אין שום מניעה לסמן גם x וגם y שליליים. אבל כשהפונקציה מתארת מצב מהמציאות - כמו מספר קילומטרים, מספר כניסות לבריכה, או מספר עמודים - תחום ההגדרה שלה מוגבל לערכים לא-שליליים בלבד (x≥0), כי כמות כזו פשוט לא יכולה להיות שלילית. זו הגבלה שנובעת מהמצב המעשי עצמו, לא כלל קבוע שחל על כל פונקציה. מסמנים את כל הנקודות שמתקבלות מהכלל במערכת הצירים - כשמדובר בערכים בדידים (כמו מספר עמודים שלם, או מספר כניסות לבריכה), הגרף הוא אוסף הנקודות הבודדות עצמן, ולא קו רציף המחבר ביניהן.
איך מזהים מהגרף אם זו פונקציה
גם בגרף אפשר לבדוק אם מדובר בפונקציה: עוברים על כל ערך x ובודקים כמה נקודות יש בגרף באותו x. אם באיזשהו x יש שתי נקודות בגבהים (ערכי y) שונים, זה אומר שלאותו x מתאימים שני ערכים של y - וזה סותר את הגדרת הפונקציה, שלפיה לכל x מותר רק ערך y אחד. אם בכל x יש בגרף לכל היותר נקודה אחת, הגרף כן יכול לייצג פונקציה. אפשר לנסח את זה גם כך: כל ישר אנכי (מאונך לציר ה-x), שעובר דרך ערך x בתוך תחום ההגדרה, חייב לחתוך את הגרף של פונקציה בדיוק פעם אחת - לא פעמיים.
ייצוג אלגברי - כלל בכתיב y = ... או f(x) = ...
את הכלל של הפונקציה אפשר לכתוב בקיצור כנוסחה, למשל y = 2x+1, שאומרת: 'קח את x, הכפל ב-2, ותוסיף 1'. כדי למצוא את y עבור x נתון, פשוט מציבים את הערך של x בנוסחה ומחשבים. כדי למצוא את x כאשר נתון y, בונים משוואה ופותרים אותה בדיוק כמו שלמדתם בכיתה ז' (למשל 2x+1=9 נותן x=4). ואם רוצים לבדוק אם נקודה מסוימת (a,b) נמצאת על הגרף של הפונקציה, מציבים x=a בנוסחה ובודקים אם מתקבל בדיוק y=b. יש גם דרך כתיבה נוספת ונפוצה לאותו כלל בדיוק: במקום y = ... אפשר לכתוב f(x) = ... (קוראים 'f של x'). זו רק דרך אחרת לרשום את אותו רעיון - 'הערך שמתקבל כשמציבים x בכלל' - ולכן גם את הנקודה על הגרף אפשר לכתוב (x, f(x)) במקום (x,y).
דוגמאות פתורות
מחיר נסיעה במונית מחושב כך: 5 שקלים דמי פתיחה קבועים, ובנוסף 4 שקלים על כל קילומטר נסיעה. הקשר בין מספר הקילומטרים (x) למחיר הכולל בשקלים (y) ניתן על ידי הכלל y = 4x + 5. א. בנו טבלת ערכים עבור x = 0,1,2,3. ב. בדקו שזהו אכן ייצוג של פונקציה. ג. מה יהיה מחיר הנסיעה עבור 10 ק"מ?
- מציבים כל אחד מהערכים x=0,1,2,3 בכלל y=4x+5: עבור x=0 מקבלים y=4·0+5=5; עבור x=1 מקבלים y=4·1+5=9; עבור x=2 מקבלים y=4·2+5=13; עבור x=3 מקבלים y=4·3+5=17.
- מקבלים את טבלת הערכים: x: 0,1,2,3 ; y: 5,9,13,17. הנקודות המתאימות הן (0,5),(1,9),(2,13),(3,17) - כל הנקודות מקיימות x≥0 ו-y≥0, בהתאם לכך שמספר הקילומטרים ומחיר הנסיעה הם תמיד לא-שליליים במציאות (הנקודה (0,5) יושבת בדיוק על ציר ה-y, בגבול תחום ההגדרה).
- בודקים שזו פונקציה: לכל ערך של x בטבלה מתקבל ערך y אחד ויחיד (אין x שחוזר על עצמו עם שני ערכי y שונים), ולכן זהו אכן ייצוג של פונקציה.
- כדי למצוא את מחיר הנסיעה עבור 10 ק"מ, מציבים x=10 בכלל: y=4·10+5=40+5=45.
תשובה: מחיר נסיעה של 10 ק"מ הוא 45 שקלים.
נתונה הפונקציה y = 3x - 2. א. מצאו את y כאשר x=5. ב. בדקו אם הנקודה (4,10) נמצאת על הגרף של הפונקציה. ג. מצאו את x כאשר y=13.
- סעיף א: מציבים x=5 בכלל: y=3·5-2=15-2=13.
- סעיף ב: כדי לבדוק אם הנקודה (4,10) נמצאת על הגרף, מציבים את ה-x של הנקודה, כלומר x=4, בכלל: y=3·4-2=12-2=10. מתקבל בדיוק y=10, שהוא ערך ה-y של הנקודה הנתונה, ולכן הנקודה (4,10) אכן נמצאת על הגרף.
- סעיף ג: מחפשים x שעבורו y=13, כלומר פותרים את המשוואה 3x-2=13.
- מעבירים אגף: 3x=13+2=15, ולכן x=15/3=5.
תשובה: א. y=13. ב. כן, הנקודה (4,10) נמצאת על הגרף. ג. x=5.
תרגול
1. נתונה טבלת הערכים הבאה: x: 2, 3, 2, 5 y: 7, 9, 11, 13 בדקו: האם טבלה זו יכולה לייצג פונקציה? נמקו את תשובתכם.תרגול
- בודקים אם יש ערך x שמופיע יותר מפעם אחת בטבלה.
- הערך x=2 מופיע פעמיים: פעם אחת מול y=7, ופעם שנייה מול y=11.
- לאותו ערך x=2 מתאימים שני ערכי y שונים (7 ו-11), וזה סותר את הגדרת הפונקציה - לפיה לכל x מותר רק ערך y יחיד.
תשובה: לא, הטבלה אינה יכולה לייצג פונקציה, כי לערך x=2 מתאימים שני ערכי y שונים (7 ו-11).
2. במערכת צירים מסומנות שלוש נקודות: (1,3), (4,3), (1,8). האם יתכן שהנקודות הללו נמצאות יחד על הגרף של פונקציה? נמקו את תשובתכם.תרגול
- בודקים בגרף אם יש ערך x שממנו יוצאות שתי נקודות בגבהים (ערכי y) שונים - כלומר, אם אותו x חוזר על עצמו עם שני ערכי y שונים.
- בודקים את ערכי ה-x של שלוש הנקודות: 1, 4, 1. הערך x=1 מופיע פעמיים - פעם אחת בנקודה (1,3) ופעם שנייה בנקודה (1,8).
- לאותו x=1 מתאימים שני ערכי y שונים (3 ו-8), וזה סותר את הגדרת הפונקציה - לפיה לכל x מותר רק ערך y יחיד.
תשובה: לא, לא יתכן שהנקודות (1,3), (4,3), (1,8) נמצאות יחד על הגרף של פונקציה, כי לערך x=1 מתאימים שני ערכי y שונים (3 ו-8).
3. נתון הכלל y = 5x - 3. מצאו את y עבור x=0, עבור x=4 ועבור x=-1.תרגול
- עבור x=0: y=5·0-3=0-3=-3.
- עבור x=4: y=5·4-3=20-3=17.
- עבור x=-1: y=5·(-1)-3=-5-3=-8.
תשובה: עבור x=0 מתקבל y=-3, עבור x=4 מתקבל y=17, ועבור x=-1 מתקבל y=-8.
4. נתונה הפונקציה y = 2x + 7. בדקו אם הנקודה (3,13) נמצאת על הגרף של הפונקציה.תרגול
- מציבים את ה-x של הנקודה, כלומר x=3, בכלל של הפונקציה: y=2·3+7.
- מחשבים: y=6+7=13.
- משווים לערך ה-y של הנקודה הנתונה: קיבלנו y=13, וזה בדיוק הערך שהיה בנקודה (3,13).
תשובה: כן, הנקודה (3,13) נמצאת על הגרף של הפונקציה.
5. בית דפוס גובה 0.5 שקל עבור כל עמוד צילום, ללא כל תשלום נוסף. א. כתבו כלל אלגברי (y) המתאר את הקשר בין מספר העמודים המצולמים (x) לבין המחיר הכולל בשקלים. ב. כמה יעלה צילום של 40 עמודים?שאלה בהקשר
- כל עמוד עולה 0.5 שקל ואין תשלום קבוע נוסף, ולכן הכלל הוא y=0.5x.
- כדי למצוא את המחיר עבור 40 עמודים, מציבים x=40 בכלל: y=0.5·40.
- מחשבים: y=0.5·40=20.
תשובה: הכלל הוא y=0.5x, וצילום של 40 עמודים יעלה 20 שקלים.
6. מנוי לבריכה עירונית עולה כך: דמי הרשמה חד-פעמיים של 30 שקלים, ובנוסף 15 שקלים על כל כניסה לבריכה. א. כתבו כלל אלגברי (y) המתאר את הקשר בין מספר הכניסות (x) לבין הסכום הכולל ששולם, בשקלים. ב. כמה כניסות אפשר לבצע בתקציב של 150 שקלים?שאלה בהקשר
- על כל כניסה משלמים 15 שקלים, ובנוסף משלמים פעם אחת 30 שקלים דמי הרשמה, ולכן הכלל הוא y=15x+30.
- כדי למצוא כמה כניסות אפשר לבצע בתקציב של 150 שקלים, מציבים y=150 ופותרים את המשוואה: 15x+30=150.
- מעבירים אגף: 15x=150-30=120.
- מחלקים ב-15: x=120/15=8.
תשובה: הכלל הוא y=15x+30, ובתקציב של 150 שקלים אפשר לבצע 8 כניסות לבריכה.
7. בטבלה הבאה רשום גובהו של צמח (בס"מ) שנמדד כל שבוע: שבוע (x): 1, 2, 3, 4 גובה בס"מ (y): 4, 7, 10, 13 א. האם הטבלה יכולה לייצג פונקציה? נמקו. ב. ידוע שהכלל האלגברי של הפונקציה הוא y=3x+1. בדקו שהכלל מתאים לנתון עבור שבוע 3, ולפי הכלל מצאו מה יהיה גובה הצמח בשבוע 6.שאלה בהקשר
- בודקים אם יש ערך x שחוזר על עצמו עם שני ערכי y שונים: בטבלה כל שבוע (x) מופיע פעם אחת בלבד, ולכן הטבלה יכולה לייצג פונקציה.
- בודקים את הכלל y=3x+1 עבור שבוע 3 (x=3): y=3·3+1=9+1=10, וזה בדיוק הערך שמופיע בטבלה עבור שבוע 3.
- מוצאים את גובה הצמח בשבוע 6 על ידי הצבת x=6 בכלל: y=3·6+1=18+1=19.
תשובה: א. כן, הטבלה יכולה לייצג פונקציה. ב. הכלל y=3x+1 מתאים לנתוני הטבלה (עבור שבוע 3 מתקבל y=10, כמו בטבלה), ולפי הכלל גובה הצמח בשבוע 6 יהיה 19 ס"מ.
לזכירה
- פונקציה היא כלל שלכל ערך של המשתנה הבלתי תלוי (x) קובע ערך יחיד ומדויק של המשתנה התלוי (y). קבוצת ערכי ה-x שעבורם הפונקציה מוגדרת נקראת תחום ההגדרה שלה.
- בטבלת ערכים: אם אותו x מופיע עם שני ערכי y שונים - זו אינה טבלה של פונקציה. אין בעיה שלשני x שונים יהיה אותו y.
- בגרף: אם יש ערך x שממנו יוצאות שתי נקודות בגבהים (ערכי y) שונים - זה אינו גרף של פונקציה; באופן שקול, כל ישר אנכי בתחום ההגדרה חייב לחתוך את גרף הפונקציה לכל היותר פעם אחת.
- כשפונקציה מתארת מצב מהמציאות (כמות, מספר פריטים), תחום ההגדרה שלה מוגבל בהתאם - למשל x≥0 - בגלל המצב המעשי עצמו, ולא בגלל כלל קבוע שחל על כל פונקציה.
- כלל אלגברי כותבים בצורה y = ... או f(x) = ... (שתי דרכי כתיבה לאותו רעיון); כדי למצוא y מציבים x (גם x שלילי), וכדי למצוא x כאשר נתון y - פותרים משוואה.
- כדי לבדוק אם נקודה נתונה נמצאת על גרף הפונקציה, מציבים את ה-x של הנקודה בכלל ובודקים אם מתקבל אותו y.