גרפים שימושיים – קריאה וסרטוט
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! אם אתם מתבלבלים מול גרף, תזכרו: הוא רק מספר סיפור בציור, בלי מילים. קודם כול תבדקו מה כתוב על כל ציר ובאיזו יחידת מידה - בדיוק כמו שקוראים את הכותרת של סיפור לפני שמתחילים לקרוא אותו. אחר כך פשוט "הולכים" על ציר אחד עד שפוגשים את הגרף, ומשם פונים לציר השני כדי לגלות את התשובה. אתם כבר יודעים לקרוא ולצייר על מערכת צירים מכיתה ז' - עכשיו רק משתמשים בזה כדי לספר סיפורים אמיתיים מהחיים, כמו טמפרטורה, מרחק או כמות מים!
מהו גרף שימושי?
גרף שימושי (גרף שמתאר מצב מהחיים) הוא ציור שמראה איך גודל מסוים משתנה - למשל איך המרחק שלנו מהבית משתנה במהלך טיול, איך הטמפרטורה משתנה במשך היום, או איך גובה המים במכל משתנה בזמן שממלאים אותו. בדרך כלל הציר האופקי מתאר את הזמן, והציר האנכי מתאר את הגודל שאנחנו עוקבים אחריו ומודדים. חשוב מאוד לשים לב לכיתוב שעל כל ציר ולא רק למספרים: מה כל ציר מייצג, ומהי יחידת המידה שלו (דקות? מטרים? מעלות?). כל נקודה על הגרף, למשל (10, 60), מספרת סיפור קצר: "כאשר x היה 10, y היה 60" - כלומר למשל "אחרי 10 דקות, המרחק היה 60 מטר".
קוראים נתונים מהגרף
כדי לקרוא ערך מהגרף לפי זמן נתון: מאתרים את הערך המבוקש על הציר האופקי, עולים ממנו עד שפוגשים את הגרף, ואז פונים לציר האנכי כדי לקרוא את הערך המתאים שם. אפשר גם לעשות פעולה הפוכה: לקבל ערך על הציר האנכי ולמצוא לאילו נקודות זמן הוא מתאים - ולפעמים יש יותר מתשובה אחת! אם קטע בגרף אופקי ("שטוח", לא עולה ולא יורד), זה אומר שבאותו פרק זמן הגודל הנמדד לא השתנה כלל. הנקודה הגבוהה ביותר בגרף מראה את הערך הגדול ביותר שאליו הגיע הגודל, והנקודה הנמוכה ביותר מראה את הערך הקטן ביותר.
מטבלה לגרף – איך מסרטטים גרף שימושי
כדי לסרטט גרף שימושי לפי טבלת נתונים, פועלים לפי כמה שלבים קבועים. קודם מציירים שני צירים מאונכים וכותבים על כל אחד מהם מה הוא מייצג ומהי יחידת המידה שלו. אחר כך בוחרים קנה מידה נוח לכל ציר (למשל: כל משבצת מייצגת 5 דקות, או 10 מטרים) כך שכל הנתונים בטבלה ייכנסו בנוחות לגרף. לבסוף מסמנים נקודה עבור כל זוג ערכים בטבלה, ומחברים כל שתי נקודות סמוכות (עוקבות בזמן) בקו ישר - כי אין לנו מידע על מה שקרה בדיוק בין שתי המדידות, ומניחים שהמעבר ביניהן היה הדרגתי.
מסיפור לגרף: מתארים מצב במילים ומתרגמים לגרף
לפעמים לא נותנים לנו טבלה אלא רק תיאור מילולי של מצב, ואנחנו צריכים לדמיין איך הגרף שלו נראה. הדרך הכי טובה היא לעבור על התיאור צעד-צעד ולשאול בכל שלב: הגודל שאני עוקב/ת אחריו עולה, יורד, או נשאר קבוע? למשל, "מכל התחיל ריק, התמלא בהדרגה, ואז נשאר מלא" מתורגם לגרף שעולה, ואז ממשיך בקטע אופקי (שטוח). באותו אופן אפשר גם לעשות את הכיוון ההפוך: להסתכל על גרף מוכן ולספר את ה"סיפור" שהוא מתאר במילים פשוטות, קטע אחרי קטע.
טעויות נפוצות בקריאת גרפים
טעות נפוצה היא להתבלבל בין שני הצירים - לשכוח מה מתואר על כל ציר, ולקרוא בטעות ערך מהציר הלא נכון. טעות נוספת היא להתעלם מקנה המידה: אם כל משבצת מייצגת 5 דקות ולא דקה אחת, קריאה לא זהירה תיתן תשובה שגויה. כדאי גם לזכור שערך אחד על ציר אחד יכול להתאים ליותר מנקודה אחת בגרף (כמו מספר אנשים זהה בשתי שעות שונות ביום) - לכן חשוב לבדוק את כל הגרף ולא להסתפק בפתרון הראשון שמוצאים.
דוגמאות פתורות
נר גבוה עומד לבעור. מדדו את גובהו (בסנטימטרים) כל שעה, וקיבלו: אחרי 0 שעות – 20 ס"מ, אחרי 1 שעה – 15 ס"מ, אחרי 2 שעות – 13 ס"מ, אחרי 3 שעות – 8 ס"מ, אחרי 4 שעות – 4 ס"מ, אחרי 5 שעות – 0 ס"מ (הנר כבה). א. מה גובה הנר לאחר 3 שעות? ב. אחרי כמה שעות הגיע גובה הנר ל-13 ס"מ?
- שלב 1 (סעיף א): מאתרים את המספר 3 על ציר הזמן (שעות) - הציר האופקי.
- שלב 2: עולים מהנקודה x=3 עד שפוגשים את הגרף.
- שלב 3: פונים לציר הגובה (הציר האנכי) וקוראים את הערך המתאים - לפי הטבלה, בשעה 3 הגובה הוא 8 ס"מ.
- שלב 4 (סעיף ב): הפעם עושים את הפעולה ההפוכה - מחפשים בטבלה את הערך 13 על ציר הגובה.
- שלב 5: מוצאים שהערך 13 מופיע בשורה של שעה 2, כלומר הנקודה על הגרף שגובהה 13 היא (2, 13).
תשובה: א. לאחר 3 שעות גובה הנר הוא 8 ס"מ. ב. גובה הנר הגיע ל-13 ס"מ אחרי 2 שעות.
מדדו את הטמפרטורה (במעלות צלזיוס) במשך יום קיץ בשעות שונות: 6:00 – 14°, 9:00 – 18°, 12:00 – 25°, 15:00 – 27°, 18:00 – 22°, 21:00 – 16°. שרטטו גרף שימושי לפי הנתונים, וקבעו: א. מהי הטמפרטורה הגבוהה ביותר שנמדדה, ובאיזו שעה? ב. מהי הטמפרטורה בשעה 18:00?
- שלב 1 (סרטוט): מציירים ציר אופקי "שעה ביום" מ-6:00 עד 21:00 לפחות, וציר אנכי "טמפרטורה (מעלות צלזיוס)" מ-0 עד 30 לפחות, עם כיתוב ויחידות על כל ציר.
- שלב 2: בוחרים קנה מידה נוח (למשל כל משבצת אופקית = שעה אחת, כל משבצת אנכית = מעלה אחת או שתיים).
- שלב 3: מסמנים על הגרף את שש הנקודות מהטבלה: (6,14), (9,18), (12,25), (15,27), (18,22), (21,16).
- שלב 4: מחברים כל שתי נקודות עוקבות בקו ישר, לפי סדר השעות.
- שלב 5 (סעיף א): עוברים על כל ערכי הטמפרטורה בטבלה (14, 18, 25, 27, 22, 16) ומחפשים את הגדול מביניהם - זהו 27, שמופיע בשעה 15:00, וזו הנקודה הגבוהה ביותר בגרף.
- שלב 6 (סעיף ב): מאתרים את השעה 18:00 על הציר האופקי, עולים עד הגרף, וקוראים את הערך המתאים על ציר הטמפרטורה - לפי הטבלה, 22 מעלות.
תשובה: א. הטמפרטורה הגבוהה ביותר הייתה 27 מעלות צלזיוס, בשעה 15:00. ב. בשעה 18:00 הטמפרטורה הייתה 22 מעלות צלזיוס.
תרגול
1. אורי רכב על קורקינט מעמוד תאורה. הוא מדד את המרחק שלו מהעמוד (במטרים) כל 2 שניות, וקיבל: בשנייה 0 – 0 מ', בשנייה 2 – 10 מ', בשנייה 4 – 10 מ' (הוא עצר לרגע לשוחח עם חבר), ובשנייה 6 – 18 מ'. באילו שניות אורי לא זז, וכמה זמן זה נמשך?תרגול
- מסתכלים בטבלה ומחפשים שתי נקודות עוקבות עם אותו מרחק בדיוק.
- רואים ששנייה 2 ושנייה 4 מקבלות שתיהן את הערך 10 מטר - כלומר בין שתי הנקודות האלה המרחק לא השתנה כלל.
- בגרף זהו קטע אופקי ("שטוח"), שמראה שאורי עמד במקום באותו זמן.
- משך הזמן שבו הוא עמד = 4 - 2 = 2 שניות.
תשובה: אורי לא זז בין שנייה 2 לשנייה 4, כלומר במשך 2 שניות.
2. כוס תה חם התקררה עם הזמן. מדדו את הטמפרטורה שלה (במעלות צלזיוס) כל 10 דקות: אחרי 0 דקות – 90°, אחרי 10 דקות – 70°, אחרי 20 דקות – 55°, אחרי 30 דקות – 45°, אחרי 40 דקות – 40°. א. תארו בקצרה איך תסרטטו גרף שימושי לפי הנתונים האלה. ב. מה הייתה טמפרטורת התה אחרי 30 דקות?תרגול
- מציירים שני צירים: הציר האופקי "זמן (דקות)" מ-0 עד 40 לפחות, והציר האנכי "טמפרטורה (מעלות צלזיוס)" מ-0 עד 90 לפחות.
- בוחרים קנה מידה נוח, למשל כל משבצת אופקית = 5 דקות וכל משבצת אנכית = 5 מעלות.
- מסמנים על הגרף את חמש הנקודות מהטבלה: (0,90), (10,70), (20,55), (30,45), (40,40).
- מחברים כל שתי נקודות עוקבות בקו ישר, כי בין המדידות עצמן אין לנו מידע נוסף ומניחים שהשינוי היה הדרגתי.
- לקריאת הטמפרטורה אחרי 30 דקות: מאתרים את 30 על ציר הזמן ומוצאים את הנקודה המתאימה בגרף - וזו בדיוק הנקודה (30,45) מהטבלה.
תשובה: אחרי 30 דקות טמפרטורת התה הייתה 45 מעלות צלזיוס.
3. מודדים את מפלס המים בנהר (בגובה מטרים) במשך 5 ימים: יום 1 – 2 מ', יום 2 – 3 מ', יום 3 – 3 מ', יום 4 – 5 מ', יום 5 – 4 מ'. באיזה יום מפלס המים היה הגבוה ביותר, ומה היה גובהו?תרגול
- כותבים את כל הערכים (הגבהים) מהטבלה: 2, 3, 3, 5, 4.
- מחפשים את הערך הגדול ביותר מביניהם.
- הערך הגדול ביותר הוא 5, וברשימה הוא מופיע ביום 4.
- בגרף זו הנקודה הגבוהה ביותר מעל הציר האופקי.
תשובה: המפלס הגבוה ביותר היה ביום 4, בגובה 5 מטרים.
4. בבריכת גינה סופרים בכל שבוע כמה צפרדעים יש בה: שבוע 1 – 5 צפרדעים, שבוע 2 – 5 צפרדעים, שבוע 3 – 9 צפרדעים, שבוע 4 – 9 צפרדעים, שבוע 5 – 20 צפרדעים. כמה צפרדעים היו בבריכה בשבוע 3?תרגול
- מאתרים על ציר השבועות (הציר האופקי) את המספר 3.
- עולים משם עד לנקודה על הגרף ששייכת לשבוע 3.
- קוראים את הערך המתאים על ציר מספר הצפרדעים (הציר האנכי) - לפי הטבלה זהו 9.
תשובה: בשבוע 3 היו בבריכה 9 צפרדעים.
5. מכל ריק התחילו למלא במים בזמן 0. במשך 6 דקות המים עלו בהדרגה עד לגובה 30 ס"מ. אז סגרו את הברז העליון, והמים נשארו באותו גובה במשך 4 דקות נוספות (עד הדקה ה-10). לאחר מכן פתחו ברז תחתון, והמכל התרוקן בהדרגה עד שהגיע לגובה 0 ס"מ בדקה ה-20. א. בנו טבלה של גובה המים (ס"מ) בנקודות המפתח של הסיפור. ב. מה גובה המים במכל בדקה ה-8? ג. כמה זמן ארך תהליך הריקון, מרגע שפתחו את הברז התחתון ועד שהמכל התרוקן?שאלה בהקשר
- מזהים מהסיפור ארבע נקודות מפתח (זמן בדקות, גובה בס"מ): (0,0) - תחילת המילוי; (6,30) - סוף המילוי; (10,30) - סוף העצירה, תחילת הריקון; (20,0) - סוף הריקון. זו הטבלה המבוקשת.
- דקה 8 נמצאת בין דקה 6 לדקה 10 - וזה בדיוק הקטע שבו הברז היה סגור, כך שהגובה קבוע ולא משתנה לאורך כל הקטע הזה.
- לכן הגובה בדקה 8 שווה לגובה בכל אותו קטע - 30 ס"מ.
- הריקון התחיל בדקה 10 (כשפתחו את הברז התחתון) והסתיים בדקה 20 (כשהמכל התרוקן). משך הזמן = 20 - 10 = 10 דקות.
תשובה: ב. גובה המים בדקה 8 הוא 30 ס"מ. ג. תהליך הריקון ארך 10 דקות.
6. בריכת שחייה ציבורית פתוחה מ-8:00 עד 20:00. בשעה 8:00 היו בבריכה 0 אנשים. המספר עלה בהדרגה עד ל-40 אנשים בשעה 12:00. בשעות הצהריים החמות המספר ירד ל-10 אנשים בשעה 14:00, ואז חזר ועלה עד ל-40 אנשים בשעה 17:00. לבסוף המספר ירד בהדרגה עד ל-0 אנשים בשעה 20:00. באילו שעות היו בבריכה בדיוק 40 אנשים?שאלה בהקשר
- רושמים את כל הנקודות הידועות מהתיאור (שעה, מספר אנשים): (8,0), (12,40), (14,10), (17,40), (20,0).
- מחפשים בטבלה את כל הנקודות שבהן מספר האנשים שווה בדיוק ל-40.
- מוצאים שתי נקודות כאלה: בשעה 12:00 יש 40 אנשים, ובשעה 17:00 יש שוב 40 אנשים - שני זמנים שונים עם אותו מספר אנשים.
- חשוב לא להסתפק בתשובה הראשונה שמוצאים (12:00) אלא לבדוק את כל הגרף.
תשובה: היו בדיוק 40 אנשים בבריכה גם בשעה 12:00 וגם בשעה 17:00.
7. באולם קולנוע ספרו את מספר הצופים בשעות שונות של הערב: 18:00 – 0 צופים, 18:30 – 80 צופים, 19:00 – 150 צופים, 21:00 – 150 צופים, 21:30 – 20 צופים, 22:00 – 0 צופים. כמה זמן (בדקות) האולם היה מלא ב-150 צופים בלי שינוי?שאלה בהקשר
- מחפשים בטבלה שני זמנים עוקבים שבהם מספר הצופים זהה בדיוק.
- מוצאים ששעה 19:00 ושעה 21:00 מקבלות שתיהן את הערך 150 - כלומר בין שני הזמנים האלה מספר הצופים לא השתנה.
- בגרף זהו קטע אופקי (שטוח), שמראה שמספר הצופים היה קבוע באותו פרק זמן.
- משך הזמן בין 19:00 ל-21:00 הוא שעתיים, כלומר 120 דקות.
תשובה: האולם היה מלא ב-150 צופים במשך 120 דקות (שעתיים), מ-19:00 עד 21:00.
8. יוסי ודנה יוצאים כל אחד בנפרד מהבית לחנות שנמצאת במרחק 300 מטר, ומגיעים אליה כעבור 6 דקות. יוסי הולך ברציפות כל הדרך בלי לעצור: בדקה 0 המרחק שלו מהבית הוא 0 מ', ובדקה 6 המרחק שלו הוא 300 מ', והמרחק גדל כל הזמן שביניהן. דנה הולכת קצת אחרת: בדקה 0 המרחק שלה מהבית הוא 0 מ', בדקה 2 היא כבר במרחק 150 מ', אז היא עוצרת לקשור שרוך נעל ונשארת במרחק 150 מ' עד הדקה ה-3, ומהדקה ה-3 עד הדקה ה-6 היא ממשיכה עד שמגיעה למרחק 300 מ'. א. מה המרחק של דנה מהבית אחרי 2.5 דקות? ב. מה ההבדל העיקרי בין הגרף של יוסי לגרף של דנה?שאלה בהקשר
- דקה 2.5 נמצאת בין דקה 2 לדקה 3 - וזה בדיוק הקטע שבו דנה עצרה לקשור שרוך, כך שהמרחק שלה מהבית קבוע ולא משתנה לאורך כל הקטע הזה.
- לכן המרחק שלה בדקה 2.5 שווה למרחק בכל אותו קטע - 150 מ' (בדיוק כמו בדקה 2 ובדקה 3).
- בגרף של יוסי המרחק עולה ברציפות מ-0 עד 300 מ', בלי שום קטע אופקי (שטוח).
- בגרף של דנה יש קטע אופקי אחד, בין דקה 2 לדקה 3, שמייצג את זמן העצירה שלה - זהו ההבדל העיקרי בין שני הגרפים.
תשובה: א. 150 מטר. ב. לגרף של דנה יש קטע אופקי (שטוח) בין הדקה ה-2 לדקה ה-3, שמייצג את העצירה; לגרף של יוסי אין קטע כזה - הוא עולה ברציפות מההתחלה עד הסוף.
לזכירה
- בגרף שימושי הציר האופקי מייצג בדרך כלל זמן, והציר האנכי מייצג את הגודל שעוקבים אחריו - חשוב תמיד לבדוק את הכיתוב ואת יחידת המידה של כל ציר.
- לקריאת ערך: מאתרים את הנקודה הידועה על ציר אחד, עוברים עד לגרף, וקוראים את הערך המתאים על הציר השני.
- קטע אופקי ("שטוח") בגרף אומר שהגודל הנמדד לא השתנה באותו פרק זמן.
- לאותו ערך על ציר אחד יכולות להתאים כמה נקודות שונות בגרף (למשל אותו מספר אנשים בשתי שעות שונות) - חשוב לבדוק את כל הגרף ולא להסתפק בפתרון הראשון שמוצאים.
- לסרטוט גרף מטבלה: מציירים ומתייגים את הצירים (כולל יחידות), בוחרים קנה מידה מתאים, מסמנים כל נקודה מהטבלה, ומחברים נקודות סמוכות בקו ישר.