לומדי

טריגונומטריה במישור כולל משוואות טריגונומטריות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! עכשיו כשאנחנו חוזרים לעבוד במעלות, יש לנו שלושה כלים חזקים לכל בעיה במשולש: נוסחת השטח עם סינוס (כשיש שתי צלעות וזווית ביניהן), משפט הסינוסים (כשיש זווית והצלע שמולה), ומשפט הקוסינוסים (כשיש שלוש צלעות, או שתי צלעות וזווית ביניהן). תזכרו: משפט הקוסינוסים הוא בעצם משפט פיתגורס "משודרג" שעובד גם כשאין זווית ישרה - וכשיש זווית ישרה, הוא פשוט חוזר להיות משפט פיתגורס הרגיל!

נוסחת שטח משולש בעזרת סינוס

אם ידועות שתי צלעות של משולש והזווית הכלואה ביניהן, אפשר לחשב את שטח המשולש בלי לדעת את הגובה: S=(1/2)·a·b·sin(γ), כאשר a,b שתי הצלעות ו-γ הזווית ביניהן. בפרק זה עוברים מרדיאנים חזרה למעלות, כפי שמקובל בבעיות גאומטריות במישור.

משפט הסינוסים

במשולש ABC, היחס בין כל צלע לסינוס הזווית שמולה קבוע ושווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: a/sin(α)=b/sin(β)=c/sin(γ)=2R (כאשר R רדיוס המעגל החוסם). המשפט מוכח באמצעות המעגל החוסם למשולש והקשר בין זווית היקפית לצלע שמולה. משפט הסינוסים שימושי כאשר ידועות זווית והצלע שמולה, ורוצים למצוא צלע או זווית נוספת.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מכליל את משפט פיתגורס לכל משולש (לא רק ישר-זווית): c²=a²+b²-2ab·cos(γ), כאשר γ הזווית שמול הצלע c. שימו לב: אם γ=90°, אז cos(γ)=0, והנוסחה מצטמצמת בדיוק למשפט פיתגורס c²=a²+b². משפט הקוסינוסים שימושי כאשר ידועות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן (ורוצים למצוא את הצלע השלישית), או כאשר ידועות שלוש הצלעות (ורוצים למצוא זווית).

פתרון משולשים ובעיות קיצון טריגונומטריות

כאשר נתונות שתי צלעות וזווית שאינה כלואה ביניהן (זווית שמול אחת הצלעות הנתונות), ייתכן שיש שני משולשים אפשריים, משולש אחד, או אף לא אחד - זהו "המקרה הדו-משמעי". יש לבדוק בעזרת משפט הסינוסים את מספר הפתרונות האפשריים. שילוב של נוסחת השטח עם תכונות הפונקציה sin מאפשר גם לפתור בעיות קיצון: מכיוון שהערך המקסימלי של sin הוא 1 (בזווית 90°), ביטוי מהצורה k·sin(2α) (כאשר 0°<α<90°) מגיע למקסימום שלו כאשר 2α=90°, כלומר α=45°.

דיוק בערכים טריגונומטריים

חשוב להבחין בין ערכים מדויקים לערכים מקורבים: sin(45°)=√2/2 (ערך מדויק), ולא 0.707 (קירוב עשרוני) - בחישוב מדויק יש להשתמש בביטוי המדויק √2/2. כמו כן חשוב להבחין בין זהות (משוואה שנכונה לכל ערך) לבין משוואה (שנכונה רק לערכים מסוימים), ולוודא שההוראה שמשתמשים בה אכן מתאימה למקום שבו משתמשים בה (למשל, לא ליישם משפט על משולש שאינו מקיים את תנאיו).

דוגמאות פתורות

במשולש, שתי צלעות באורך 8 ס"מ ו-10 ס"מ, והזווית ביניהן 30°. מצאו את שטח המשולש.

  1. משתמשים בנוסחה S=(1/2)·a·b·sin(γ).
  2. מציבים: S=(1/2)×8×10×sin(30°).
  3. sin(30°)=1/2, ולכן S=(1/2)×80×(1/2)=20.

תשובה: שטח המשולש הוא 20 סמ"ר.

במשולש ABC, ∠A=30°, ∠B=90°, וצלע a (מול הזווית A) שווה 5 ס"מ. מצאו את צלע b (מול הזווית B).

  1. לפי משפט הסינוסים: a/sin(A)=b/sin(B).
  2. מציבים: 5/sin(30°)=b/sin(90°).
  3. sin(30°)=1/2, sin(90°)=1: 5/(1/2)=10=b/1.

תשובה: b=10 ס"מ.

במשולש, שתי צלעות באורך 7 ס"מ ו-8 ס"מ, והזווית ביניהן 60°. מצאו את הצלע השלישית.

  1. משתמשים במשפט הקוסינוסים: c²=a²+b²-2ab·cos(γ).
  2. מציבים: c²=7²+8²-2×7×8×cos(60°)=49+64-112×(1/2).
  3. c²=113-56=57.

תשובה: הצלע השלישית שווה ל-√57 ס"מ (בקירוב 7.55 ס"מ).

תרגול

1. במשולש, שתי צלעות באורך 6 ס"מ ו-9 ס"מ, והזווית ביניהן 30°. מצאו את שטח המשולש.תרגול
  1. S=(1/2)×6×9×sin(30°)=(1/2)×54×(1/2)=13.5.

תשובה: 13.5 סמ"ר

2. במשולש, שתי צלעות באורך 10 ס"מ ו-10 ס"מ, והזווית ביניהן ישרה (90°). מצאו את שטח המשולש בעזרת נוסחת הסינוס, ובדקו מול הנוסחה הרגילה לשטח משולש ישר-זווית.תרגול
  1. S=(1/2)×10×10×sin(90°)=(1/2)×100×1=50.
  2. בדיקה: משולש ישר-זווית עם ניצבים 10,10 - שטח=(1/2)×ניצב×ניצב=(1/2)×10×10=50 - מתאים.

תשובה: 50 סמ"ר

3. במשולש ABC, ∠A=45°, ∠C=90°, וצלע c (מול הזווית C, היתר) שווה 10 ס"מ. מצאו את צלע a (מול הזווית A).תרגול
  1. משפט הסינוסים: a/sin(A)=c/sin(C).
  2. a/sin(45°)=10/sin(90°)=10.
  3. a=10×sin(45°)=10×(√2/2)=5√2.

תשובה: a=5√2 ס"מ

4. במשולש, שתי צלעות באורך 5 ס"מ ו-12 ס"מ, והזווית ביניהן ישרה (90°). מצאו את הצלע השלישית בעזרת משפט הקוסינוסים, ובדקו מול משפט פיתגורס.תרגול
  1. c²=5²+12²-2×5×12×cos(90°)=25+144-120×0=169.
  2. c=√169=13.
  3. בדיקה: זהו בדיוק המשולש 5-12-13, כפי שמצפים ממשפט פיתגורס כאשר הזווית 90°.

תשובה: c=13 ס"מ

5. במשולש ABC נתון a=5, b=8, ∠A=30° (הזווית שמול a). הסבירו מדוע במקרה כזה (נתונות שתי צלעות וזווית שאינה כלואה ביניהן) ייתכן שיש יותר מפתרון אחד למשולש.שאלה בהקשר
  1. הזווית הנתונה A נמצאת מול הצלע a, לא בין שתי הצלעות הנתונות - זהו "המקרה הדו-משמעי".
  2. כשמציירים את המשולש, לפעמים יש שתי נקודות אפשריות לקודקוד השלישי שמקיימות את הנתונים (משני צדי הגובה), ולכן ייתכנו שני משולשים שונים.
  3. צריך לבדוק בעזרת משפט הסינוסים (ולעיתים גם תנאי קיום משולש) כמה פתרונות אמיתיים יש.

תשובה: כי הזווית הנתונה אינה כלואה בין שתי הצלעות הנתונות - זה עלול להתאים לשני משולשים שונים, אחד, או אף אחד.

6. שטח מקבילית עם צלעות 6 ס"מ ו-8 ס"מ נתון על ידי A(α)=6×8×sin(α)=48·sin(α), כאשר α הזווית בין הצלעות. עבור איזו זווית α השטח מקסימלי, ומהו השטח המקסימלי?שאלה בהקשר
  1. הערך המקסימלי האפשרי של sin(α) הוא 1, המתקבל כאשר α=90°.
  2. לכן השטח המקסימלי: A(90°)=48×1=48.

תשובה: השטח המקסימלי הוא 48 סמ"ר, כאשר α=90°.

7. ביטוי לשטח דמוי S(α)=20·sin(2α), כאשר 0°<α<90°. מצאו את הזווית α שבה השטח מקסימלי, ומהו השטח המקסימלי.שאלה בהקשר
  1. sin(2α) מגיע למקסימום שלו (הערך 1) כאשר 2α=90°, כלומר α=45°.
  2. השטח המקסימלי: S(45°)=20×sin(90°)=20×1=20.

תשובה: α=45°, והשטח המקסימלי הוא 20.

8. במשולש, שלוש הצלעות הן 5 ס"מ, 6 ס"מ ו-7 ס"מ. מצאו את הקוסינוס של הזווית שמול הצלע הגדולה ביותר (7 ס"מ), בעזרת משפט הקוסינוסים.שאלה בהקשר
  1. משפט הקוסינוסים: c²=a²+b²-2ab·cos(γ), כאשר c=7 (הצלע הגדולה, מול הזווית המבוקשת γ), a=5, b=6.
  2. 7²=5²+6²-2×5×6×cos(γ).
  3. 49=25+36-60·cos(γ)=61-60·cos(γ).
  4. cos(γ)=(61-49)/60=12/60=1/5.

תשובה: cos(γ)=1/5 (הזווית עצמה גדולה מ-0°, בקירוב כ-78.5°).

לזכירה

  • שטח משולש עם שתי צלעות a,b וזווית כלואה γ: S=(1/2)·a·b·sin(γ).
  • משפט הסינוסים: a/sin(α)=b/sin(β)=c/sin(γ)=2R (R=רדיוס המעגל החוסם). שימושי כשידועות זווית והצלע שמולה.
  • משפט הקוסינוסים: c²=a²+b²-2ab·cos(γ) - הכללה של משפט פיתגורס לכל משולש (וכש-γ=90° הוא בדיוק מצטמצם למשפט פיתגורס). שימושי כשידועות שתי צלעות וזווית כלואה, או שלוש צלעות.
  • זווית שאינה כלואה בין שתי צלעות נתונות ("המקרה הדו-משמעי") עלולה להתאים לשני משולשים, אחד, או אף אחד - יש לבדוק.
  • ביטוי מהצורה k·sin(2α) (עבור 0°<α<90°) מקסימלי כאשר 2α=90°, כלומר α=45°.
  • יש להבחין בין ערך מדויק (כמו √2/2) לקירוב עשרוני, ובין זהות למשוואה - ולוודא שתנאי משפט אכן מתקיימים לפני שמשתמשים בו.
הקודםפונקציות טריגונומטריות