לומדי

מבוא להנדסה אנליטית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

שלום, אני לומדי! הנדסה אנליטית היא בעיניי אחד הרעיונות הכי יפים במתמטיקה - היא מלמדת אותנו שאפשר "לתרגם" צורה שרואים בעין (ישר, מעגל) למשוואה שכתובה במספרים ובאותיות, ולהפך. ברגע שיש לנו משוואה, אנחנו כבר לא צריכים לצייר - אנחנו יכולים לחשב כל דבר: מרחקים, חיתוכים, ואפילו אם נקודה נמצאת על הצורה או לא. תזכרו את שני הכלים הכי חשובים בפרק הזה: נוסחת המרחק ונוסחת אמצע קטע - כמעט כל דבר אחר בונים מהם.

הנדסה אנליטית: כשאלגברה פוגשת גאומטריה

הנדסה אנליטית היא הדרך לתאר צורות גאומטריות - ישרים, מעגלים ועוד - באמצעות משוואות אלגבריות ומערכת צירים. כל נקודה במישור מתוארת בזוג קואורדינטות (x,y), וכל קבוצת נקודות (כמו ישר, פרבולה או מעגל) אפשר לתאר באמצעות משוואה שהנקודות עליה מקיימות. חשוב להבחין: לא כל משוואה או קבוצת נקודות מייצגת גרף של פונקציה. למשל x=k (כאשר k מספר קבוע) מתאר ישר אנכי - קבוצת כל הנקודות שבהן ה-x שווה k, לכל ערך של y. זה לא גרף של פונקציה, כי לכל ערך x=k יש אינסוף ערכי y, בעוד שפונקציה מחייבת בדיוק ערך y אחד לכל x.

משוואת ישר: משתי נקודות, או מנקודה ושיפוע

אם ידועות שתי נקודות על ישר, A(x1,y1) ו-B(x2,y2), מוצאים קודם את השיפוע: m=(y2-y1)/(x2-x1), ואז מציבים נקודה אחת בנוסחה y-y1=m(x-x1) ומסדרים. אם ידועים שיפוע ונקודה אחת, מציבים ישירות באותה נוסחה. שני ישרים מקבילים אם ורק אם יש להם אותו שיפוע. שני ישרים מאונכים (ניצבים) אם ורק אם מכפלת השיפועים שלהם שווה ל-1-, כלומר m1×m2=-1 (ובפרט, אם ישר אחד אנכי, השני מאונך לו אם ורק אם הוא אופקי).

מרחק בין שתי נקודות ואמצע קטע

המרחק בין שתי נקודות A(x1,y1) ו-B(x2,y2) מחושב באמצעות משפט פיתגורס על משולש ישר-זווית שצלעותיו מקבילות לצירים: המרחק=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]. אמצע הקטע AB הוא הנקודה שקואורדינטות שלה הן הממוצע של הקואורדינטות המתאימות: אמצע=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). שתי הנוסחאות האלה הן הכלים הבסיסיים ביותר בהנדסה אנליטית, ומשמשות גם למציאת משוואות ישרים, מעגלים ועוד.

מעגל: תיאור באמצעות נוסחת המרחק

מעגל הוא קבוצת כל הנקודות שמרחקן ממרכז נתון שווה לרדיוס נתון - וזו בדיוק ההגדרה שממנה בונים את משוואת המעגל. אם מרכז המעגל הוא הראשית O(0,0) ורדיוסו r, אז נקודה (x,y) נמצאת על המעגל אם ורק אם מרחקה מהראשית שווה r, כלומר √(x²+y²)=r, ואחרי העלאה בריבוע: x²+y²=r² - משוואת המעגל הקנוני. אם מזיזים את המרכז לנקודה (a,b), מקבלים בדיוק באותו אופן (x-a)²+(y-b)²=r² - וזו דוגמה נוספת לכך שהזזה של צורה במישור מתבטאת בהחלפת x ב-(x-a) ו-y ב-(y-b) במשוואה, בדיוק כמו בהזזות של גרפי פונקציות. שימו לב: זו לא גרף של פונקציה (יש שני ערכי y לרוב ערכי x), בדיוק כמו הישר האנכי x=k.

חיתוך ישר ופרבולה

כדי למצוא את נקודות החיתוך בין ישר y=mx+n לבין פרבולה y=ax²+bx+c, משווים בין שני הביטויים ל-y ופותרים את המשוואה הריבועית שמתקבלת: ax²+bx+c=mx+n. מספר הפתרונות של המשוואה קובע כמה נקודות חיתוך יש: שני פתרונות - שתי נקודות חיתוך; פתרון אחד (כפול) - הישר משיק לפרבולה; אין פתרון ממשי - הישר והפרבולה לא נפגשים כלל.

דוגמאות פתורות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות A(1,2) ו-B(3,8).

  1. מוצאים את השיפוע: m=(8-2)/(3-1)=6/2=3.
  2. מציבים את הנקודה A(1,2) בנוסחה y-y1=m(x-x1): y-2=3(x-1).
  3. מפתחים ומסדרים: y-2=3x-3, כלומר y=3x-1.
  4. בדיקה: מציבים את B(3,8): 3×3-1=8 - מתאים.

תשובה: משוואת הישר היא y=3x-1.

מצאו את המרחק בין הנקודות A(1,2) ו-B(3,8), ואת אמצע הקטע AB.

  1. מציבים בנוסחת המרחק: מרחק=√[(3-1)²+(8-2)²]=√(2²+6²)=√(4+36)=√40=2√10.
  2. מציבים בנוסחת אמצע הקטע: אמצע=((1+3)/2, (2+8)/2)=(2,5).

תשובה: המרחק AB=2√10, ואמצע הקטע הוא הנקודה (2,5).

מעגל שמרכזו בנקודה (2,-1) ורדיוסו 5. כתבו את משוואתו, ובדקו האם הנקודה (5,3) נמצאת עליו.

  1. לפי משוואת מעגל מוזז (x-a)²+(y-b)²=r² עם מרכז (2,-1) ורדיוס 5: (x-2)²+(y+1)²=25.
  2. בודקים את הנקודה (5,3): (5-2)²+(3+1)²=3²+4²=9+16=25.
  3. התוצאה שווה בדיוק ל-25 (=r²), כלומר הנקודה מקיימת את המשוואה.

תשובה: משוואת המעגל: (x-2)²+(y+1)²=25. הנקודה (5,3) נמצאת על המעגל.

מצאו את נקודות החיתוך בין הפרבולה y=x²-1 לבין הישר y=x+1.

  1. משווים בין הביטויים ל-y: x²-1=x+1.
  2. מסדרים למשוואה ריבועית: x²-x-2=0.
  3. מפרקים לגורמים: (x-2)(x+1)=0, ומקבלים x=2 או x=-1.
  4. מוצאים את y המתאים לכל x על ידי הצבה בישר: עבור x=2: y=2+1=3. עבור x=-1: y=-1+1=0.

תשובה: נקודות החיתוך הן (2,3) ו-(-1,0).

תרגול

1. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (0,3) ו-(4,11).תרגול
  1. השיפוע: m=(11-3)/(4-0)=8/4=2.
  2. מציבים את (0,3): y-3=2(x-0), כלומר y=2x+3.

תשובה: y=2x+3

2. מצאו את המרחק בין הנקודות (-2,1) ו-(3,13), ואת אמצע הקטע ביניהן.תרגול
  1. מרחק=√[(3-(-2))²+(13-1)²]=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13.
  2. אמצע=((-2+3)/2, (1+13)/2)=(0.5, 7).

תשובה: המרחק הוא 13, ואמצע הקטע הוא (0.5, 7).

3. הסבירו מדוע קבוצת הנקודות שמקיימת x=-3 אינה גרף של פונקציה.תרגול
  1. x=-3 הוא ישר אנכי - כל הנקודות שבהן הקואורדינטה הראשונה היא 3-.
  2. לערך x=-3 היחיד הזה מתאימים אינסוף ערכי y (כל y אפשרי).
  3. בגרף של פונקציה, לכל ערך x מותר להתאים ערך y אחד בלבד - ולכן הישר האנכי אינו יכול להיות גרף של פונקציה.

תשובה: לא - כי לערך היחיד x=-3 מתאימים אינסוף ערכי y, וזה סותר את הגדרת הפונקציה.

4. כתבו את משוואת המעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 7. בדקו אם הנקודה (5,5) נמצאת עליו.תרגול
  1. משוואת מעגל קנוני: x²+y²=r²=49.
  2. מציבים (5,5): 5²+5²=25+25=50.
  3. 50≠49, כלומר הנקודה לא מקיימת את המשוואה.

תשובה: x²+y²=49. הנקודה (5,5) אינה נמצאת על המעגל (מתקבל 50 במקום 49).

5. מצאו את משוואת הישר שמקביל לישר y=3x-1 ועובר דרך הנקודה (0,10).שאלה בהקשר
  1. ישרים מקבילים - אותו שיפוע, כלומר m=3.
  2. מציבים את (0,10): y-10=3(x-0), כלומר y=3x+10.

תשובה: y=3x+10

6. מצאו את משוואת הישר שמאונך לישר y=3x-1 ועובר דרך הנקודה (2,5).שאלה בהקשר
  1. לישרים מאונכים מכפלת השיפועים שווה ל-1-: 3×m=-1, כלומר m=-1/3.
  2. מציבים את (2,5): y-5=-1/3(x-2).
  3. מסדרים: y=-x/3+2/3+5=-x/3+17/3.

תשובה: y=-(1/3)x+17/3

7. מעגל שמרכזו בנקודה (3,-2) ורדיוסו 4. כתבו את משוואתו, ובדקו אם הנקודה (7,-2) נמצאת עליו.שאלה בהקשר
  1. משוואה: (x-3)²+(y+2)²=16.
  2. מציבים (7,-2): (7-3)²+(-2+2)²=4²+0²=16.
  3. התוצאה שווה בדיוק ל-16=r², כלומר הנקודה כן נמצאת על המעגל.

תשובה: (x-3)²+(y+2)²=16. הנקודה (7,-2) נמצאת על המעגל.

8. מצאו את נקודות החיתוך בין הפרבולה y=x² לבין הישר y=2x+3.שאלה בהקשר
  1. משווים: x²=2x+3.
  2. מסדרים: x²-2x-3=0, ומפרקים: (x-3)(x+1)=0.
  3. מקבלים x=3 או x=-1. עבור x=3: y=9. עבור x=-1: y=1.

תשובה: נקודות החיתוך הן (3,9) ו-(-1,1).

לזכירה

  • ישר x=k (אנכי) מייצג קבוצת נקודות, לא גרף של פונקציה - לכל ערך x יש בו אינסוף ערכי y.
  • שיפוע בין שתי נקודות: m=(y2-y1)/(x2-x1). ישרים מקבילים - שיפועים שווים. ישרים מאונכים - מכפלת השיפועים שווה ל-1-.
  • מרחק בין שתי נקודות: √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]. אמצע קטע: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
  • משוואת מעגל קנוני (מרכז בראשית): x²+y²=r². אחרי הזזת המרכז לנקודה (a,b): (x-a)²+(y-b)²=r² - בדיוק כמו הזזת גרף של פונקציה.
  • חיתוך ישר ופרבולה: משווים בין המשוואות ופותרים משוואה ריבועית - מספר הפתרונות קובע אם יש שתי נקודות חיתוך, נקודת השקה אחת, או אין חיתוך כלל.
הבאמבוא לאנליזה של פונקציות