לומדי

חשבון דיפרנציאלי

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

שלום, אני לומדי! הנגזרת היא אחד הכלים הכי חזקים שתפגשו במתמטיקה - היא בעצם "מד קצב השינוי הרגעי" לכל דבר שמשתנה: מהירות של רכב, גובה של צמח, טמפרטורה של כוס תה. הרעיון פשוט להפליא: מסתכלים על שינוי קטן מאוד (h שהולך ומתאפס), ומגלים מה קורה "ממש עכשיו". וברגע שיש לנו את הנגזרת, אנחנו יכולים לגלות דברים מדהימים על הפונקציה בלי בכלל לצייר אותה - איפה היא עולה, איפה היא יורדת, ואיפה היא מגיעה למקסימום או מינימום.

קצב שינוי ממוצע וקצב שינוי רגעי

קצב השינוי הממוצע של פונקציה f בקטע שבין x0 ל-x0+h הוא [f(x0+h)-f(x0)]/h - בדיוק השיפוע של הישר החותך (הסקנטה) שמחבר בין שתי הנקודות המתאימות על הגרף. כדי לעבור מקצב שינוי ממוצע לקצב שינוי רגעי בנקודה x0, בודקים מה קורה לביטוי הזה כאשר h הולך ומתקרב ל-0 - כלומר כאשר הקטע נעשה קצר יותר ויותר. הערך שאליו מתקרב הביטוי (אם הוא קיים) נקרא הנגזרת של f בנקודה x0, ומסומן f'(x0). זו למעשה מהירות הרגעית של השינוי - בדיוק כמו מד המהירות ברכב שמראה כמה מהר משהו משתנה ברגע נתון, ולא בממוצע על פני קטע זמן.

הנגזרת כשיפוע המשיק

ככל שמקרבים שתי נקודות על גרף פונקציה זו לזו, הישר החותך ביניהן מתקרב יותר ויותר לישר המשיק לגרף באחת הנקודות. לכן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x0 מוגדר כגבול של שיפוע החותך כאשר h→0: f'(x0)=lim(h→0) [f(x0+h)-f(x0)]/h. משוואת המשיק לגרף בנקודה (x0, f(x0)) היא לכן: y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).

כללי גזירה בסיסיים

במקום לחשב כל נגזרת מהגדרה, משתמשים בכללים שמוכיחים פעם אחת ואז חוזרים ומיישמים: כלל החזקה - הנגזרת של xⁿ היא n·xⁿ⁻¹ (למשל הנגזרת של x³ היא 3x²). כלל הכפל בקבוע - אם g(x)=a·f(x) אז g'(x)=a·f'(x). כלל הסכום וההפרש - הנגזרת של סכום (או הפרש) פונקציות היא סכום (או הפרש) הנגזרות: (f±g)'=f'±g'. הנגזרת של פונקציה קבועה היא 0 (קבוע לא משתנה, אז קצב השינוי שלו הוא אפס).

כללי גזירה נוספים: כלל המכפלה וכלל השרשרת

שני כללים נוספים מאפשרים לגזור ביטויים מורכבים בלי לפתוח אותם קודם. כלל המכפלה: הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות היא [f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) - גוזרים כל פונקציה בנפרד, ומחברים את שתי המכפלות ה"מוצלבות". כלל השרשרת, לפונקציה מורכבת מהצורה h(x)=[f(x)]ⁿ: h'(x)=n·[f(x)]ⁿ⁻¹·f'(x) - גוזרים קודם את ה"חיצונית" (החזקה החיצונית), ומכפילים בנגזרת הביטוי הפנימי f(x). שני הכללים האלה משמשים בהמשך גם בחקירת פונקציה פולינומיאלית שאינה כתובה כבר בצורה פתוחה (מכפלת גורמים, או חזקה של ביטוי).

שימוש בנגזרת לחקירת פונקציה פולינומיאלית

הנגזרת היא כלי מרכזי לחקירת התנהגות הגרף: בקטעים שבהם f'(x)>0 הפונקציה עולה, ובקטעים שבהם f'(x)<0 הפונקציה יורדת. נקודות שבהן f'(x)=0 נקראות נקודות קיצון חשודות - שם הפונקציה עשויה להגיע למקסימום או מינימום מקומי (בודקים איך משתנה הסימן של הנגזרת משני צידי הנקודה כדי להכריע). חקירה מלאה של פונקציה כוללת: תחום הגדרה, זוגיות/אי-זוגיות, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, וסקיצה של הגרף על סמך כל אלה. הנגזרת משמשת גם למציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה, ולפתרון בעיות יישומיות של ערך קיצון (מציאת הגודל המקסימלי/מינימלי האפשרי, כמו שטח או נפח, בתנאי נתון).

פונקציה קדומה - מושג ראשוני

לפעמים נתונה לנו פונקציית הנגזרת, ואנחנו רוצים לדעת מהי הפונקציה המקורית שממנה היא הגיעה - זו נקראת פונקציה קדומה (בלי להשתמש עדיין בסימון אינטגרל). לדוגמה, אם ידוע שהנגזרת היא 2x, אפשר לנחש שהפונקציה המקורית היא x² - ואפשר לבדוק זאת: הנגזרת של x² היא באמת 2x. חשוב לשים לב: הפונקציה הקדומה אינה יחידה! גם x²+5 וגם x²-3 נגזרות שלהן שוות ל-2x, כי הנגזרת של קבוע היא 0. כלומר לכל פונקציית נגזרת נתונה יש משפחה שלמה של פונקציות קדומות, שכל שתיים מהן נבדלות זו מזו בקבוע בלבד.

דוגמאות פתורות

חשבו את הנגזרת של f(x)=x²+3x לפי ההגדרה (באמצעות מנת ההפרשים), ובדקו את התוצאה בעזרת כללי הגזירה.

  1. מציבים בהגדרה: [f(x+h)-f(x)]/h = [(x+h)²+3(x+h) - (x²+3x)]/h.
  2. מפתחים את המונה: (x²+2xh+h²+3x+3h) - x² - 3x = 2xh+h²+3h.
  3. מחלקים ב-h: (2xh+h²+3h)/h = 2x+h+3.
  4. שואפים ל-h→0: מקבלים f'(x)=2x+3.
  5. בדיקה בעזרת כללי הגזירה: הנגזרת של x² היא 2x, הנגזרת של 3x היא 3, ולפי כלל הסכום: f'(x)=2x+3 - מתאים בדיוק.

תשובה: f'(x)=2x+3

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x²-4x+1 בנקודה שבה x=3.

  1. מוצאים את f(3): f(3)=3²-4×3+1=9-12+1=-2. נקודת ההשקה היא (3,-2).
  2. מוצאים את הנגזרת: f'(x)=2x-4.
  3. מוצאים את שיפוע המשיק: f'(3)=2×3-4=2.
  4. מציבים בנוסחת ישר: y-(-2)=2(x-3), כלומר y=2x-6-2=2x-8.

תשובה: משוואת המשיק: y=2x-8

חקרו את הפונקציה f(x)=x³-3x: תחום הגדרה, זוגיות, שורשים, נקודות קיצון ותחומי עלייה/ירידה.

  1. תחום ההגדרה: כל x ממשי (פולינום מוגדר תמיד).
  2. זוגיות: f(-x)=-x³+3x=-(x³-3x)=-f(x) - הפונקציה אי-זוגית, הגרף סימטרי לראשית.
  3. שורשים: x³-3x=0 ⟹ x(x²-3)=0 ⟹ x=0, x=√3, x=-√3.
  4. נגזרת: f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1). מתאפסת ב-x=1 וב-x=-1 - אלה נקודות הקיצון החשודות.
  5. בדיקת סימן f': עבור x<-1, f'(x)>0 (עולה). עבור -1<x<1, f'(x)<0 (יורדת). עבור x>1, f'(x)>0 (עולה).
  6. לכן x=-1 היא נקודת מקסימום מקומי (f(-1)=-1+3=2), ו-x=1 היא נקודת מינימום מקומי (f(1)=1-3=-2).

תשובה: תחום הגדרה: כל x. אי-זוגית. שורשים: 0, ±√3. עולה ב-(-∞,-1) וב-(1,∞), יורדת ב-(-1,1). מקסימום מקומי (-1,2), מינימום מקומי (1,-2).

נתונה f(x)=(x²+1)(x-2). מצאו את f'(x) בעזרת כלל המכפלה, ובדקו על ידי פתיחת סוגריים וגזירה ישירה. נתונה גם h(x)=(x²-3)³ - מצאו את h'(x) בעזרת כלל השרשרת.

  1. כלל המכפלה: u=x²+1 (u'=2x), v=x-2 (v'=1). f'(x)=2x·(x-2)+(x²+1)·1=2x²-4x+x²+1=3x²-4x+1.
  2. בדיקה: פותחים סוגריים: (x²+1)(x-2)=x³-2x²+x-2. גוזרים ישירות: 3x²-4x+1 - זהה לתוצאה הקודמת.
  3. כלל השרשרת עבור h(x)=(x²-3)³: החלק ה"פנימי" הוא x²-3 (נגזרתו 2x), והחלק ה"חיצוני" הוא חזקה שלישית.
  4. h'(x)=3(x²-3)²·2x=6x(x²-3)².

תשובה: f'(x)=3x²-4x+1. h'(x)=6x(x²-3)².

תרגול

1. מצאו את הנגזרת של f(x)=5x³-2x²+7.תרגול
  1. נגזרת של 5x³ (כלל החזקה+כפל בקבוע): 15x².
  2. נגזרת של -2x²: -4x.
  3. נגזרת של הקבוע 7: 0.

תשובה: f'(x)=15x²-4x

2. מצאו את הנגזרת של f(x)=x⁴-6x²+2.תרגול
  1. נגזרת של x⁴: 4x³.
  2. נגזרת של -6x²: -12x.
  3. נגזרת של הקבוע 2: 0.

תשובה: f'(x)=4x³-12x

3. מצאו את שיפוע המשיק לגרף f(x)=x²+1 בנקודה שבה x=-2.תרגול
  1. הנגזרת: f'(x)=2x.
  2. מציבים x=-2: f'(-2)=2×(-2)=-4.

תשובה: שיפוע המשיק הוא -4.

4. מצאו פונקציה קדומה של f(x)=6x²-4x+3.תרגול
  1. מחפשים פונקציה שנגזרתה 6x²: זו 2x³ (כי הנגזרת של 2x³ היא 6x²).
  2. מחפשים פונקציה שנגזרתה -4x: זו -2x².
  3. מחפשים פונקציה שנגזרתה 3 (קבוע): זו 3x.
  4. מרכיבים ומוסיפים קבוע כללי C (כי כל קבוע נעלם בגזירה).

תשובה: F(x)=2x³-2x²+3x+C

5. מצאו פונקציה קדומה של f(x)=4x³.תרגול
  1. מחפשים פונקציה שנגזרתה 4x³: זו x⁴ (כי הנגזרת של x⁴ היא 4x³).
  2. מוסיפים קבוע כללי C.

תשובה: F(x)=x⁴+C

6. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)=x²-4x+3, ואת נקודת הקיצון שלה.שאלה בהקשר
  1. הנגזרת: f'(x)=2x-4.
  2. פתרון f'(x)=0: 2x-4=0 ⟹ x=2.
  3. עבור x<2: f'(x)<0 (יורדת). עבור x>2: f'(x)>0 (עולה).
  4. לכן x=2 היא נקודת מינימום. f(2)=4-8+3=-1.

תשובה: יורדת ב-(-∞,2), עולה ב-(2,∞). מינימום בנקודה (2,-1).

7. רוצים לגדר חלקת אדמה מלבנית בעזרת 40 מטר גדר, כך ששטח החלקה יהיה המקסימלי האפשרי. מהם ממדי החלקה, ומה השטח המקסימלי?שאלה בהקשר
  1. אם רוחב החלקה x, ואורכה y, אז היקף: 2(x+y)=40, כלומר y=20-x.
  2. השטח: A(x)=x·y=x(20-x)=20x-x².
  3. מוצאים נגזרת: A'(x)=20-2x. פתרון A'(x)=0: x=10.
  4. עבור x<10 הנגזרת חיובית (השטח עולה), ועבור x>10 היא שלילית (השטח יורד) - כלומר x=10 נותן מקסימום.
  5. עבור x=10: y=20-10=10. השטח: A(10)=10×10=100.

תשובה: ריבוע בצלע 10 מטר, עם שטח מקסימלי של 100 מ"ר.

8. מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x³ בנקודה שבה x=2.שאלה בהקשר
  1. f(2)=2³=8. נקודת ההשקה: (2,8).
  2. הנגזרת: f'(x)=3x². f'(2)=3×4=12.
  3. משוואת המשיק: y-8=12(x-2), כלומר y=12x-24+8=12x-16.

תשובה: y=12x-16

9. מצאו את הנגזרת של f(x)=(3x-1)(x²+2) בעזרת כלל המכפלה.שאלה בהקשר
  1. u=3x-1 (u'=3), v=x²+2 (v'=2x).
  2. f'(x)=u'·v+u·v'=3(x²+2)+(3x-1)(2x)=3x²+6+6x²-2x=9x²-2x+6.

תשובה: f'(x)=9x²-2x+6

10. מצאו את הנגזרת של g(x)=(2x+1)⁴ בעזרת כלל השרשרת.שאלה בהקשר
  1. החלק הפנימי הוא 2x+1 (נגזרתו 2), החלק החיצוני הוא חזקה רביעית.
  2. g'(x)=4(2x+1)³·2=8(2x+1)³.

תשובה: g'(x)=8(2x+1)³

לזכירה

  • קצב שינוי ממוצע בקטע [x0, x0+h]: [f(x0+h)-f(x0)]/h - שיפוע הישר החותך. קצב שינוי רגעי (הנגזרת) הוא הגבול של זה כאשר h→0.
  • הנגזרת בנקודה שווה לשיפוע המשיק לגרף באותה נקודה.
  • כללי גזירה בסיסיים: (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹, (a·f)'=a·f', (f±g)'=f'±g', נגזרת של קבוע = 0.
  • כללי גזירה נוספים: כלל המכפלה [f·g]'=f'g+fg', וכלל השרשרת (לחזקה של ביטוי) [f(x)ⁿ]'=n[f(x)]ⁿ⁻¹·f'(x).
  • סימן הנגזרת קובע עלייה/ירידה: f'>0 - עולה, f'<0 - יורדת. נקודות שבהן f'=0 הן חשודות כנקודות קיצון.
  • פונקציה קדומה: פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה הנתונה. היא אינה יחידה - כל שתי פונקציות קדומות לאותה פונקציה נבדלות בקבוע בלבד.
  • ⚠ היקף: שיעור זה עוסק בפונקציות פולינומיאליות בלבד (מושג הנגזרת, כללי הגזירה, חקירה מלאה, פונקציה קדומה) - ההרחבה לפונקציות רציונליות ושורשים, שיוצג במקור מיד אחרי תוכן זה (yod5.pdf p.8-9), נלמדת בשיעור נפרד "הרחבה לפונקציות רציונליות ושורשים כולל הרכבה של פונקציות".
הקודםמבוא לאנליזה של פונקציותהבאהרחבה לפונקציות רציונליות ושורשים כולל הרכבה של פונקציות