המעגל
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
שלום, אני לומדי! המעגל הוא הצורה הכי "צודקת" שיש - כל נקודה עליו נמצאת בדיוק באותו מרחק מהמרכז, בלי יוצא מהכלל. בפרק הזה נלמד איך זוויות וקשתות "מדברות" ביניהן: זווית היקפית תמיד קטנה בדיוק פי שניים מהזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת - וזה כלי חזק שיעזור לכם לפתור המון תרגילים. ותזכרו את הטריק עם המשיק: הוא תמיד מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה - כאילו הרדיוס "מצביע" בדיוק על הכיוון הניצב למשיק.
הגדרות יסוד במעגל
מעגל הוא קבוצת כל הנקודות שמרחקן ממרכז נתון שווה למרחק קבוע (הרדיוס). רדיוס המעגל הוא הקטע המחבר את המרכז עם נקודה על המעגל. מיתר הוא קטע המחבר שתי נקודות על המעגל. קוטר הוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל (אורכו כפול הרדיוס). קשת היא חלק מההיקף שבין שתי נקודות על המעגל. זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז המעגל, ושוקיה רדיוסים. זווית היקפית היא זווית שקודקודה על היקף המעגל, ושוקיה מיתרים.
זוויות מרכזיות, זוויות היקפיות וקשתות
במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות אם ורק אם הקשתות הנשענות עליהן שוות. באופן דומה, שתי זוויות היקפיות שוות אם ורק אם הקשתות הנשענות עליהן שוות. משפט מרכזי: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. מסקנה חשובה מכך: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא תמיד זווית ישרה (90°) - וההפך גם נכון: אם זווית היקפית היא 90°, המיתר שהיא נשענת עליו הוא בהכרח קוטר.
מיתרים ומאונכים ממרכז המעגל
האנך היורד ממרכז המעגל אל מיתר, חוצה את המיתר וחוצה גם את הקשת שמתאימה לו. ככל שמיתר במעגל גדול יותר, כך מרחקו מהמרכז קטן יותר (והמיתר הגדול ביותר האפשרי הוא הקוטר, שעובר בדיוק דרך המרכז, כלומר מרחקו מהמרכז הוא 0).
המשיק למעגל
משיק למעגל הוא ישר שיש לו בדיוק נקודה משותפת אחת עם המעגל (נקודת ההשקה). משפט מרכזי: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. גם ההפך נכון: ישר שמאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק למעגל. תכונה חשובה נוספת: שני משיקים היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל אל המעגל, שווים באורכם זה לזה.
מרובעים הקשורים למעגל
מרובע החסום במעגל (כל קודקודיו על המעגל) - סכום כל שתי זוויות נגדיות בו הוא 180°. מרובע החוסם מעגל (כל צלעותיו משיקות למעגל) - סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.
דוגמאות פתורות
זווית מרכזית במעגל שווה ל-100°. מצאו את גודל הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.
- לפי המשפט, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
- מחשבים: 100°÷2=50°.
תשובה: הזווית ההיקפית שווה ל-50°.
מנקודה P מחוץ למעגל שמרכזו O יוצאים שני משיקים למעגל, הנוגעים בו בנקודות A ו-B. נתון שהזווית בין המשיקים (∠APB) שווה ל-50°. מצאו את הזווית המרכזית ∠AOB.
- המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, כלומר ∠OAP=∠OBP=90°.
- במרובע OAPB סכום הזוויות הוא 360°.
- מציבים: ∠AOB + 90° + 90° + 50° = 360°.
- פותרים: ∠AOB = 360° - 230° = 130°.
תשובה: ∠AOB=130°
מרובע ABCD חסום במעגל. נתון ∠A=75°. מצאו את ∠C.
- במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180°.
- הזוויות A ו-C נגדיות זו לזו.
- מציבים: 75°+∠C=180°.
תשובה: ∠C=105°
תרגול
1. זווית מרכזית במעגל שווה ל-140°. מצאו את הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.תרגול
- זווית היקפית = מחצית הזווית המרכזית.
- 140°÷2=70°.
תשובה: 70°
2. זווית היקפית במעגל שווה ל-35°. מצאו את הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.תרגול
- זווית מרכזית = פי 2 מהזווית ההיקפית.
- 35°×2=70°.
תשובה: 70°
3. זווית היקפית במעגל נשענת על מיתר AB, וגודלה 90°. מה ניתן להסיק על המיתר AB?תרגול
- לפי ההפך של המשפט על זווית הנשענת על קוטר: אם זווית היקפית היא 90°, המיתר שהיא נשענת עליו הוא קוטר.
תשובה: AB הוא קוטר המעגל.
4. מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים הנוגעים במעגל בנקודות A ו-B. נתון PA=7 ס"מ. כמה שווה PB?תרגול
- שני משיקים היוצאים מאותה נקודה חיצונית שווים זה לזה.
תשובה: PB=7 ס"מ
5. מרובע ABCD חסום במעגל. נתון ∠B=110°. מצאו את ∠D.שאלה בהקשר
- במרובע חסום במעגל, זוויות נגדיות משלימות ל-180°.
- B ו-D נגדיות: 110°+∠D=180°.
תשובה: ∠D=70°
6. מעגל שרדיוסו 6 ס"מ. מיתר במעגל נמצא במרחק 4 ס"מ מהמרכז. מצאו את אורך המיתר.שאלה בהקשר
- האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה אותו, ויוצר משולש ישר-זווית עם הרדיוס כיתר ומחצית המיתר כניצב.
- מחצית המיתר=√(רדיוס²-מרחק²)=√(6²-4²)=√(36-16)=√20=2√5.
- המיתר השלם = 2×2√5=4√5.
תשובה: אורך המיתר הוא 4√5 ס"מ.
7. ישר משיק למעגל בנקודה A, כאשר O מרכז המעגל ו-OA=5 ס"מ. על המשיק נמצאת נקודה P כך ש-PA=12 ס"מ. מצאו את המרחק OP.שאלה בהקשר
- המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, כלומר המשולש OAP ישר-זווית בקודקוד A.
- לפי משפט פיתגורס: OP²=OA²+PA²=5²+12²=25+144=169.
- OP=√169=13.
תשובה: OP=13 ס"מ
8. משולש ישר-זווית חסום במעגל, כך שהיתר שלו הוא בדיוק קוטר המעגל, ואורך היתר 10 ס"מ. מהו רדיוס המעגל?שאלה בהקשר
- לפי המשפט, זווית היקפית של 90° (הזווית הישרה במשולש) נשענת על קוטר - כלומר היתר הוא באמת הקוטר.
- רדיוס = מחצית הקוטר = 10÷2=5.
תשובה: רדיוס המעגל הוא 5 ס"מ.
לזכירה
- מעגל, רדיוס, מיתר, קוטר, קשת, זווית מרכזית וזווית היקפית - ההגדרות הבסיסיות שעליהן בנוי כל הפרק.
- זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90° (וההפך: זווית היקפית 90° נשענת על קוטר).
- האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה אותו ואת הקשת המתאימה לו. ככל שהמיתר גדול יותר, מרחקו מהמרכז קטן יותר.
- המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שני משיקים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם.
- מרובע חסום במעגל: זוויות נגדיות משלימות ל-180°. מרובע חוסם מעגל: סכומי זוגות הצלעות הנגדיות שווים.