חישובי נפחים של גופים
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! נפח הוא בשבילי כמו לשאול "כמה מים ייכנסו לגוף הזה?". ההיגיון פשוט: בסיס גדול יותר - יותר מקום; גובה גדול יותר - יותר מקום. אבל יש טעם קטן: לפירמידה, מאותו בסיס ואותו גובה, יש רק שליש מהנפח של מנסרה - זה תמיד מפתיע אותי מחדש! והדבר הכי חשוב שלמדתי: כשגוף לא "ישר" וקצוותיו נוטים הצידה, אסור סתם לנחש איזה קטע הוא הגובה - צריך להוכיח את זה, למשל עם מכפלה סקלרית שמראה שהוקטור באמת ניצב לבסיס, או עם משפט פיתגורס במשולש ישר-זווית שמסתתר בתוך הגוף.
נוסחאות הנפח: מנסרה ופירמידה
נפח מנסרה (כולל מקרים פרטיים כמו תיבה, קובייה ומקבילון) מחושב לפי הנוסחה: נפח = שטח הבסיס · גובה, כאשר הגובה הוא המרחק (הניצב) בין שני מישורי הבסיסים. נפח פירמידה מחושב לפי הנוסחה: נפח = ⅓ · שטח הבסיס · גובה, כאשר הגובה הוא המרחק הניצב מקודקוד הראש למישור הבסיס. שתי הנוסחאות נכונות לכל מנסרה או פירמידה, ישרה או לא - ובלבד שיודעים לחשב נכון את שטח הבסיס ואת הגובה.
איך מוצאים את הגובה בגוף שאינו ישר
כשהמנסרה או הפירמידה אינן ישרות, אי אפשר להניח סתם שמקצוע צדדי הוא הגובה - צריך לבסס את הגובה באחת מהדרכים האלה: הגובה נתון ישירות בנתוני השאלה; אפשר לזהות את הגובה מתוך צורת הגוף (למשל פירמידה שבה אחד המקצועות מאונך לבסיס, ולכן הוא עצמו הגובה); מוכיחים בעזרת מכפלה סקלרית ששווה 0 שוקטור מסוים הוא באמת ניצב לבסיס (ולכן הוא הגובה); או שמחשבים את אורך הגובה בעזרת משפט פיתגורס או פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית שבתוך הגוף.
בסיסים מוכרים משאתם כבר יודעים לחשב
בשאלות נפח מופיעות מנסרות ופירמידות שהבסיס שלהן הוא מצולע שאת שטחו יודעים לחשב עם נוסחאות שטח שכבר מוכרות לכם - מלבן, ריבוע, משולש, מקבילוגרם, טרפז וכדומה. השלב הראשון בכל תרגיל נפח הוא תמיד לזהות את צורת הבסיס ולחשב את שטחו, ורק אחר כך למצוא את הגובה ולהציב בנוסחת הנפח המתאימה.
דוגמאות פתורות
מנסרה ישרה שבסיסה מלבן בגודל 5 ס"מ על 3 ס"מ, וגובה המנסרה (המרחק בין שני הבסיסים) 8 ס"מ. חשבו את נפח המנסרה.
- שטח הבסיס = 5·3 = 15 סמ"ר.
- נפח מנסרה = שטח הבסיס · גובה.
- נפח = 15·8 = 120.
תשובה: נפח המנסרה הוא 120 סמ"ק.
פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע בעל צלע 6 ס"מ, וגובה הפירמידה 9 ס"מ. חשבו את נפח הפירמידה.
- שטח הבסיס = 6·6 = 36 סמ"ר.
- נפח פירמידה = ⅓ · שטח הבסיס · גובה.
- נפח = ⅓·36·9 = ⅓·324 = 108.
תשובה: נפח הפירמידה הוא 108 סמ"ק.
פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע בעל צלע 8 ס"מ, ורגל הגובה נופלת במרכז O של הריבוע. אורך המקצוע הצדדי SB (מקודקוד הראש S לקודקוד הבסיס B) הוא 9 ס"מ. חשבו את גובה הפירמידה SO, ולאחר מכן את נפחה.
- אורך אלכסון הריבוע הוא 8√2, ומחצית האלכסון OB = 4√2 (המרחק ממרכז הריבוע לקודקוד).
- המשולש SOB ישר-זווית בקודקוד O (כי SO מאונך למישור הבסיס, ולכן גם לישר OB שבתוכו).
- לפי משפט פיתגורס: SB² = SO² + OB², כלומר 9² = SO² + (4√2)².
- 81 = SO² + 32, ולכן SO² = 49, כך ש-SO = 7.
- שטח הבסיס = 8·8 = 64 סמ"ר.
- נפח = ⅓·64·7 = ⅓·448 = 448/3.
תשובה: גובה הפירמידה הוא 7 ס"מ, ונפחה 448/3 סמ"ק (בערך 149.3 סמ"ק).
תרגול
1. מנסרה ישרה שבסיסה משולש ששטחו 15 סמ"ר, וגובה המנסרה 6 ס"מ. חשבו את נפח המנסרה.תרגול
- נפח = שטח הבסיס · גובה.
- נפח = 15·6 = 90.
תשובה: 90 סמ"ק.
2. פירמידה ישרה שבסיסה מלבן בגודל 4 ס"מ על 7 ס"מ, וגובהה 9 ס"מ. חשבו את נפח הפירמידה.תרגול
- שטח הבסיס = 4·7 = 28 סמ"ר.
- נפח = ⅓·28·9 = ⅓·252.
תשובה: 84 סמ"ק.
3. קובייה שאורך מקצועה 5 ס"מ. חשבו את נפחה.תרגול
- קובייה היא מקרה פרטי של מנסרה ישרה, שבסיסה ריבוע וגובהה שווה לצלע הבסיס.
- שטח הבסיס = 5·5 = 25 סמ"ר. גובה = 5 ס"מ.
- נפח = 25·5 = 125.
תשובה: 125 סמ"ק.
4. תיבה שמידותיה 3, 4 ו-6 (ס"מ). חשבו את נפחה.תרגול
- נפח תיבה = מכפלת שלוש המידות.
- נפח = 3·4·6 = 72.
תשובה: 72 סמ"ק.
5. בפירמידה SABC, הוכח (למשל בעזרת מכפלה סקלרית) כי SA מאונך למישור הבסיס ABC, ולכן SA הוא גובה הפירמידה. ידוע ששטח הבסיס ABC הוא 18 סמ"ר, ואורך SA הוא 7 ס"מ. חשבו את נפח הפירמידה.שאלה בהקשר
- מכיוון ש-SA הוכח כמאונך למישור הבסיס, אורכו הוא בדיוק גובה הפירמידה.
- נפח = ⅓ · שטח הבסיס · גובה = ⅓·18·7.
- = ⅓·126 = 42.
תשובה: 42 סמ"ק.
6. פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע בעל צלע 12 ס"מ, ורגל הגובה נופלת במרכז O של הריבוע. אורך המקצוע הצדדי (מקודקוד הראש לקודקוד בסיס) הוא 9 ס"מ. חשבו את גובה הפירמידה בעזרת משפט פיתגורס, ולאחר מכן את נפחה.שאלה בהקשר
- אלכסון הריבוע: 12√2, מחצית האלכסון (מרכז לקודקוד) = 6√2.
- במשולש ישר-הזווית שנוצר מהגובה, מחצית האלכסון והמקצוע הצדדי: 9² = גובה² + (6√2)².
- 81 = גובה² + 72, כלומר גובה² = 9, ולכן הגובה = 3.
- שטח הבסיס = 12·12 = 144 סמ"ר.
- נפח = ⅓·144·3 = ⅓·432 = 144.
תשובה: גובה הפירמידה 3 ס"מ, ונפחה 144 סמ"ק.
7. מנסרה ישרה שבסיסה טרפז בעל שני בסיסים באורך 5 ס"מ ו-9 ס"מ, וגובה הטרפז (המרחק בין שני הבסיסים המקבילים שלו) 4 ס"מ. גובה המנסרה עצמה (המרחק בין שני בסיסי המנסרה) הוא 10 ס"מ. חשבו את נפח המנסרה.שאלה בהקשר
- שטח טרפז = ((בסיס1+בסיס2)/2)·גובה הטרפז = ((5+9)/2)·4 = 7·4 = 28 סמ"ר.
- נפח המנסרה = שטח הבסיס · גובה המנסרה = 28·10.
תשובה: 280 סמ"ק.
לזכירה
- נפח מנסרה = שטח הבסיס · גובה (הגובה הוא המרחק בין מישורי שני הבסיסים). נפח פירמידה = ⅓ · שטח הבסיס · גובה (הגובה הוא המרחק מקודקוד הראש למישור הבסיס).
- בגוף שאינו ישר אסור להניח מהו הגובה - צריך לבסס אותו: לקבל אותו כנתון, לזהות אותו מתוך צורת הגוף, להוכיח ניצבות בעזרת מכפלה סקלרית השווה 0, או לחשב את אורכו בעזרת משפט פיתגורס או טריגונומטריה במשולש ישר-זווית שבתוך הגוף.
- לפני הצבה בנוסחת הנפח, תמיד מזהים את צורת הבסיס ומחשבים את שטחו לפי הנוסחאות המוכרות (מלבן, ריבוע, משולש, מקבילוגרם, טרפז וכו').
- בפירמידה ישרה, אם ידוע אורך מקצוע צדדי (מקודקוד הראש לקודקוד בסיס) ומרחק אותו קודקוד ממרכז הבסיס, אפשר למצוא את גובה הפירמידה במשולש ישר-זווית באמצעות משפט פיתגורס.