לומדי

וקטור בגישה אלגברית

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! עד עכשיו תיארתי וקטורים רק במילים ובציורים - עכשיו אני נותן להם כתובת מדויקת, בדיוק כמו GPS. מערכת הצירים במרחב היא כמו חדר עם שלושה קירות שנפגשים בפינה אחת: רוחב, עומק וגובה. כל נקודה בחדר מקבלת שלושה מספרים, וכל וקטור מקבל שלושה שיעורים משלו. הכי נחמד: כל הפעולות שכבר הכרנו (חיבור, כפל בסקלר, בדיקת קוליניאריות) הופכות פתאום לחשבון פשוט על שלישיות מספרים - בלי לצייר כלום!

מערכת צירים במרחב ושיעורי נקודה

מערכת צירים במרחב בנויה משלושה צירים מאונכים זה לזה, הנפגשים בראשית הצירים (0,0,0): ציר x, ציר y וציר z. כל נקודה במרחב מתוארת בשלושה מספרים (x,y,z), הנקראים שיעורי הנקודה. יש מקרים פרטיים שחשוב לזהות: נקודה שנמצאת על אחד ממישורי הצירים (למשל מישור xy) - אחד משיעוריה הוא 0 (במישור xy, השיעור z שווה 0; במישור xz, השיעור y שווה 0; במישור yz, השיעור x שווה 0); ונקודה שנמצאת על אחד הצירים עצמם (למשל ציר z) - שניים משיעוריה שווים 0 (על ציר z, x=0 וגם y=0).

וקטורי היחידה, והצגה אלגברית של וקטור

וקטורי היחידה של הצירים הם שלושה וקטורים באורך 1 כל אחד, בכיוון החיובי של כל ציר: מסמנים אותם i (בכיוון ציר x), j (בכיוון ציר y) ו-k (בכיוון ציר z). כל וקטור במרחב אפשר להציג באופן אלגברי כצירוף לינארי של שלושת וקטורי היחידה: וקטור u=(x,y,z) פירושו u = x·i + y·j + z·k. אם ידועות שיעורי שתי נקודות A(x1,y1,z1) ו-B(x2,y2,z2), אפשר למצוא את הוקטור AB בהצגה אלגברית פשוט על ידי חיסור השיעורים: AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1). זו בעצם אותה פעולת חיסור וקטורים שכבר הכרנו, רק שעכשיו מבצעים אותה על השיעורים.

שוויון, חיבור וכפל בסקלר בהצגה אלגברית

שני וקטורים בהצגה אלגברית שווים בדיוק כאשר כל שיעור בהם זהה: (x1,y1,z1)=(x2,y2,z2) אם ורק אם x1=x2, y1=y2 וגם z1=z2. חיבור שני וקטורים בהצגה אלגברית נעשה שיעור מול שיעור: (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2). כפל וקטור בסקלר t נעשה גם הוא על כל שיעור בנפרד: t·(x,y,z) = (t·x, t·y, t·z).

וקטורים קולינאריים בהצגה אלגברית

כדי לבדוק אם שני וקטורים u=(x1,y1,z1) ו-v=(x2,y2,z2) (שניהם שונים מוקטור האפס) קולינאריים, בודקים אם קיים סקלר t יחיד כך ש-v=t·u - כלומר אם היחס בין השיעורים המתאימים זהה בשלושתם: x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 (כשהמכנים שונים מ-0). אם כל היחסים שווים לאותו מספר t, הוקטורים קולינאריים; אם לא - הם אינם קולינאריים.

דוגמאות פתורות

נתונה הנקודה A(3,-2,0). הסבירו באיזה מישור צירים היא נמצאת. נתונה גם הנקודה B(0,0,5). הסבירו על איזה ציר היא נמצאת.

  1. בנקודה A(3,-2,0), השיעור z שווה 0, ואילו x ו-y שונים מ-0.
  2. נקודה עם z=0 נמצאת על מישור xy.
  3. בנקודה B(0,0,5), השיעורים x ו-y שווים 0, ורק z שונה מ-0.
  4. נקודה שבה שני שיעורים שווים 0 נמצאת על הציר של השיעור השלישי - כאן ציר z.

תשובה: A(3,-2,0) נמצאת על מישור xy (כי z=0). B(0,0,5) נמצאת על ציר z (כי x=0 וגם y=0).

נתונות הנקודות A(2,-1,4) ו-B(5,3,-2). מצאו את הוקטור AB בהצגה אלגברית, ואת הוקטור הנגדי לו BA.

  1. AB = B - A (שיעור מול שיעור): (5-2, 3-(-1), -2-4).
  2. = (3, 4, -6).
  3. BA הוא הוקטור הנגדי ל-AB, כלומר -AB: (-3,-4,6).

תשובה: AB = (3,4,-6). BA = (-3,-4,6).

נתונים הוקטורים u=(2,-1,3) ו-v=(-4,2,-6). קבעו האם u ו-v קולינאריים.

  1. בודקים את היחס בין השיעורים המתאימים: -4/2 = -2.
  2. 2/-1 = -2.
  3. -6/3 = -2.
  4. שלושת היחסים שווים לאותו מספר, t=-2, כלומר v = -2u.

תשובה: כן, u ו-v קולינאריים, כי v = -2u.

תרגול

1. מהם שיעורי הנקודה שנמצאת על ציר ה-z, במרחק 7 יחידות מהראשית, בכיוון החיובי?תרגול
  1. נקודה על ציר z מקיימת x=0, y=0.
  2. מרחק 7 מהראשית בכיוון החיובי של הציר נותן z=7.

תשובה: (0,0,7).

2. נתונה הנקודה C(-3,5,0). באיזה מישור צירים נמצאת הנקודה, ומדוע?תרגול
  1. השיעור z שווה 0.
  2. נקודה שבה z=0 נמצאת על מישור xy.

תשובה: C נמצאת על מישור xy, כי השיעור z שלה שווה 0.

3. חשבו: 2u+3v, כאשר u=(1,0,-2), v=(-1,4,1).תרגול
  1. 2u = (2, 0, -4).
  2. 3v = (-3, 12, 3).
  3. מחברים שיעור מול שיעור: (2-3, 0+12, -4+3) = (-1, 12, -1).

תשובה: 2u+3v = (-1,12,-1).

4. נתונות הנקודות A(0,1,2) ו-B(4,-3,5). מצאו את הוקטור AB.תרגול
  1. AB = B - A = (4-0, -3-1, 5-2).
  2. = (4, -4, 3).

תשובה: AB = (4,-4,3).

5. נתונים U=(6,-9,3) ו-V=(-2,3,-1). הוכיחו כי U ו-V קולינאריים, ומצאו את הסקלר t כך ש-U=t·V.שאלה בהקשר
  1. בודקים יחס בין שיעורים מתאימים: 6/-2 = -3, -9/3 = -3, 3/-1 = -3.
  2. כל היחסים שווים ל--3, כלומר U = -3·V.

תשובה: U ו-V קולינאריים; t = -3.

6. נתונות שלוש נקודות A(1,2,3), B(3,6,9), C(5,10,15). הוכיחו כי הן נמצאות על ישר אחד, באמצעות בדיקת קוליניאריות של AB ו-AC.שאלה בהקשר
  1. AB = B-A = (2,4,6).
  2. AC = C-A = (4,8,12).
  3. AC = 2·AB (כל שיעור ב-AC הוא כפול השיעור המתאים ב-AB).
  4. AB ו-AC קולינאריים ויוצאים מאותה נקודה A, ולכן A,B,C נמצאות על אותו ישר.

תשובה: כן, A,B,C על אותו ישר, כי AC=2·AB.

7. נתון הוקטור u=(6,k,27) קולינארי לוקטור v=(2,-3,9). מצאו את k.שאלה בהקשר
  1. מהשיעור הראשון: 6 = t·2, כלומר t=3.
  2. בודקים עקביות בשיעור השלישי: 27 = t·9 = 3·9 = 27. מתאים, כך שאכן t=3 עבור שני השיעורים האלה.
  3. לפי אותו t, השיעור השני חייב לקיים k = t·(-3) = 3·(-3) = -9.

תשובה: k = -9.

לזכירה

  • מערכת צירים במרחב: שלושה צירים מאונכים x,y,z; לכל נקודה שיעורים (x,y,z). נקודה על מישור צירים - שיעור אחד שווה 0; נקודה על ציר - שני שיעורים שווים 0.
  • וקטורי היחידה i,j,k (אורך 1, בכיוון הצירים החיוביים). הצגה אלגברית: u=(x,y,z)=x·i+y·j+z·k.
  • וקטור בין שתי נקודות A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2): AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1).
  • שוויון וקטורים בהצגה אלגברית - שיעור מול שיעור זהה. חיבור וכפל בסקלר נעשים שיעור מול שיעור: (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2), t·(x,y,z)=(tx,ty,tz).
  • שני וקטורים (שונים מאפס) קולינאריים אם ורק אם היחס בין שיעוריהם המתאימים שווה לאותו מספר t בשלושת השיעורים.
הקודםוקטור בגישה גאומטריתהבאמכפלה סקלרית של וקטורים